|
Содержание работы или список заданий
|
Тема 1. Элементы комбинаторики: сочетания, размещения, перестановки
7) На четвертом курсе одного из факультетов читается 6 спецкурсов. Каждый четверокурсник обязан выбрать для посещения два спецкурса. Сколькими способами он может это сделать?
Тема 2. Понятие случайного события.
Классическое определение вероятности события
Задача 1) Продано 120 билетов лотереи, из них 10 – выигрышные. Некто купил 2 билета. Найти вероятность того, что хотя бы один из его билетов окажется выигрышным.
Задача 2) В студенческой группе 20 девушек. Известно, что 5 из них не любят читать детективы. Случайным образом выбирают трех девушек и дарят им по детективу. Вычислите вероятность того, что:
а) все девушки оценят этот подарок;
б) только одна девушка оценит этот подарок.
Тема 3. Операции над событиями. Условная вероятность.
Теоремы сложения и умножения вероятностей.
7) Заключение сделки состоит из двух последовательных независимых этапов. Вероятность успешного прохождения первого этапа равна 0,9, второго этапа – 0,8. Найти вероятность того, что сделка будет заключена.
Тема 4. Формула полной вероятности. Формула Бейеса.
7) Имеется 3 урны. В первой 3 белых и 4 черных шара, во второй – 2 белых и 5 черных шаров, в третьей – 4 белых и 3 черных шара. Наугад выбрали урну и вынули два шара. Найти вероятность того, что оба шара окажутся белыми. Найти вероятность того, что шары были вынуты из третьей урны, если оказалось, что они оба белые.
Тема 5. Формула Бернулли. Теорема Пуассона.
Локальная и интегральные теоремы Лапласа.
7) Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка разобьется, равна 0,03. Найти вероятность того, что магазин получит разбитых бутылок: а) ровно две; б) более двух.
Тема 6. Дискретная случайная величина (ДСВ). Функция и характеристики распределения ДСВ
Задан закон распределения ДСВ X (см. ниже варианты заданий).
Найти:
а) неизвестную вероятность р;
б) математическое ожидание М, дисперсию D и среднее квадратическое отклонение случайной величины;
в) функцию распределения F(x) и построить её график;
г) закон распределения случайной величины Y, если её значения заданы функциональной зависимостью y = f(x).
7)
xi -2 -1 0 1 2 3 4
pi 0,06 р 0,12 0,2 0,3 0,1 0,03
Тема 7. Непрерывная случайная величина (НСВ). Функция распределения и плотность вероятности НСВ
НСВ Х имеет нормальное распределение с математическим ожиданием Mx и средним квадратичным отклонением σx. Найти для заданных значений Mx, σx, a, b (см. ниже таблицу вариантов):
1) вероятность попадания СВ Х в интервал (a; b): P(a < X < b);
2) вероятность P(X < (a + b)/2);
3) сформулировать «правило трёх сигм»;
4) написать выражения для функции распределения F(x) и плотности вероятности f(x) и построить их графики;
5) найти квантиль x0,7 и 20%-ю точку.
Варианты заданий по теме 7
Вариант Mx σx a b
7 26 3 23 27
Тема 8. Математическая статистика
Определение № варианта для задач по теме 8
Условия задач по теме 8 одинаковы для всех студентов, однако числовые данные зависят от номера зачетной книжки студента.
Для того чтобы получить свои личные числовые данные, необходимо взять две последние цифры № зачетной книжки и выбрать из таблицы 1 значение параметра l, а из таблицы 2 значение параметра k. Эти два числа нужно подставить в условия задач 8.1 и 8.2.
Таблица 1 (выбор параметра l)
А 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
l 4 3 5 1 3 2 4 2 1 5
Таблица 2 (выбор параметра k)
B 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
k 3 2 1 4 5 3 1 5 2 4
Например, если № зачетной книжки заканчивается …37, то А = 3, В = 7, и из таблиц находим, что l = 1, k = 5. Полученные значения l = 1, k = 5 подставляются в условия задач 8.1 и 8.2.
8.1. Численная обработка данных одномерной выборки
Выборка X объёмом N = 100 измерений задана таблицей:
xi x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
5 13 20 + (l + k) 30 – (l + k) 19 10 3
где xi – результаты измерений, – частоты, с которыми встречаются значения xi, =100, xi = 0,2 ∙ l + (i – 1) ∙ 0,3 ∙ k.
Требуется:
1. Построить полигон относительных частот .
2. Вычислить среднее выборочное , выборочную дисперсию Dx и среднее квадратическое отклонение σx.
3. По критерию χ2 проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности при уровне значимости α = 0,05.
Примечание. Для расчётов и Dx рекомендуется перейти к условным значениям и, взяв за ложный нуль сx значение с наибольшей частотой, использовать суммы и .
8.2. Построение уравнения прямой регрессии
Двумерная выборка результатов совместных измерений признаков x и y объёмом N = 100 измерений задана корреляционной таблицей (в теле таблицы значения mij – количество раз, когда встретились пары чисел (x, y)):
y1 y2 y3 y4 y5
x1 2 3 - - - 5
x2 3 8 2 - - 13
x3 - 8 + l 12 + k - - 20 + (l + k)
x4 - - 16 – l 14 – k - 30 – (l + k)
x5 - - 9 10 - 19
x6 - - 3 6 1 10
x7 - - - 1 2 3
5 19 + l 42 + k – l 31 – k 3 N = 100
где xi = 0,2 • l + (i – 1) • 0,3 • k,
yj = 0,5 • l + (j – 1) • 0,2 • k.
Требуется:
1. Найти и σy для выборки
yj y1 y2 y3 y4 y5
5 19 + l 42 + k – l 31 – k 3
Примечание. Расчёты и σy можно выполнить аналогично расчётам и σx в задаче 8.1 (пункт 2).
2. Построить уравнение прямой регрессии Y на X в виде ;
и σx следует взять из задачи 8.1 (пункт 2).
3. На графике изобразить корреляционное поле, то есть нанести точки
(xi, yj) и построить прямую .
Примечание. Уравнение регрессии сначала рекомендуется найти в виде
, где r – выборочный коэффициент корреляции, который определяется по формуле:
,
где
|