|
Содержание работы или список заданий
|
Контрольная задача 1
на тему «Оптимизация производственной программы промышленного предприятия»
Предприятие выпускает продукцию А, Б, и В. Каждый вид продукции может производиться различными технологическими способами (на разном оборудовании, с использованием различного сырья, при разной квалификации рабочих).
Ресурсы оборудования, сырья, труда ограничены (см. табл. 3).
Выпуск продукции А, Б и В не может быть меньше заключенных на эту продукцию договоров (см. табл. 2).
В таблице 1 приведены нормативы затрат ресурсов на производство продукции и прибыль при использовании различных технологических способов в расчёте на единицу продукции (общие для всех вариантов).
Таблица 1
Наименование ресурсов Ед.изм. Продукция А Продукция Б Продукция В
технологич. способы технологич. способы техн. способы
1 2 1 2 1 2 3
Оборудование: станко-час.
новое 10 - 20 - 30 32 -
старое - 12 - 25 - - 40
Сырье: т
высококачественное 2 - 5 - 10 10 -
стандартное - 2 - 5 - - 9
Труд: чел.-час.
высококвалифицированный 18 - 30 - 40 - -
средней квалификации - 20 - 32 48 50
Прибыль т.руб. 300 500 350 700 720 1200 1300
Таблица 2
Номер варианта Продукция
А Б В
1 4500 2500 800
2 4600 2450 800
3 4700 2400 800
4 4800 2350 800
5 4900 2300 800
6 5000 2250 800
7 5100 2200 800
8 5200 2150 800
9 5300 2100 800
10 5400 2050 800
Таблица 3
Объемы ресурсов
Номер варианта Оборудование, станко-час. Сырье, т Труд, чел.-час.
новое старое высококач. стандарт. высококвалиф. ср. квалиф.
0 160000 400000 70000 40000 220000 160000
1 160100 400100 70100 40100 220000 160000
2 160200 400200 70200 40200 220000 160000
3 160300 400300 70300 40300 220000 160000
4 160400 400400 70400 40400 220000 160000
5 160500 400500 70500 40500 220000 160000
6 160600 400600 70600 40600 220000 160000
7 160700 400700 70700 40700 220000 160000
8 160800 400800 70800 40800 220000 160000
9 160900 400900 70900 40900 220000 160000
10 161000 401000 71000 41000 220000 160000
Требуется определить оптимальный план производства продукции, который приносил бы максимальную прибыль.
Работа должна содержать :
1. Исходные данные по задаче.
2. Экономико-математическую модель оптимизационной задачи.
3. Расчеты осуществить на ЭВМ, приложить распечатку матрицы и полученных результатов.
4. Сделать анализ оптимального плана по двойственным оценкам.
Контрольная задача 2
на тему «Имитационное моделирование в маркетинговом планировании»
Задание: Выполнить все расчеты и диаграммы в Excel , все распечатать и включить в контрольную работу.
Задание посвящено вопросам использования имитационного моделирования в прогнозировании показателей, характеризующих процесс выведения нового продукта на рынок.1)
На условном примере имитируются случайные переменные, входящие в уравнение прибыли, получаемой от реализации нового продукта в первый год продаж. Имитационный процесс осуществлялся в среде Excel в условиях наиболее правдоподобных предположений о законах распределения случайных переменных. Статистическая обработка данных о прибыли, полученных в результате имитационного процесса, позволяет сделать вывод о целесообразности производства нового продукта.
Одной из важнейших задач маркетингового планирования является прогнозирование показателей, характеризующих процесс выведения нового продукта на рынок. Достаточно эффективным инструментом для ее решения может служить метод имитационного моделирования, который еще называют методом статистических испытаний или методом Монте-Карло. Рассмотрим принципы применения имитационного моделирования на условном примере для промышленной фирмы.
Очевидно, при принятии решения о производстве нового продукта менеджмент фирмы в первую очередь интересует прогноз возможной прибыли. Чтобы записать
управление прибыли, введем следующие обозначения:
Sрын – годовой объем продаж (спрос) в сегменте рынка, где запускается новый продукт, ед.;
– доля рынка для нового продукта в первый год продаж, %;
v – переменные затраты на ед. продукции (материалы, сырье, прямые затраты труда, комплектующие элементы и т. д., у. д. е.;
F – постоянные затраты (арендная плата за помещения, зарплата менеджеров, охрана имущества и т. д.), у. д. е.;
M – затраты на продвижение продукта, у. д. е.;
c – продажная цена ед. продукции, у. д. е.
Объем реализованной продукции или спрос в первый год продаж Sнов оценивается:
Общий доход от реализации продукции за этот период D вычисляется как произведение объема (1) на продажную цену ед. продукции:
Общие затраты Собщ при объеме производства Sнов определяются как сумма переменных и постоянных затрат, а также затрат на рекламу и продвижение продукта:
Прибыль Р вычисляется как разность между выражениями (2) и (3):
Уравнение (4) можно использовать в качестве прогнозной модели прибыли в первый год продаж. Для этой цели все переменные модели следует разделить на две группы: детерминированные и случайные. Для детерминированных переменных задаются их точные значения (то есть они рассматриваются как параметры), а случайные переменные имитируются как служебные величины при условии, что делаются предположения об их законах распределения. Процесс моделирования осуществляется как последовательность испытаний или реализаций. В результате каждого испытания генерируются значения случайных переменных и вычисляется прибыль на основе соотношения (4). Процесс имитации заканчивается, когда в результате большого количества испытаний будет получен достаточный объем данных о прибыли. Далее осуществляется стратегический анализ данных, позволяющий сделать вывод об основных характеристиках вероятностного распределения прибыли.
В рассматриваемой ситуации в качестве параметра модели (4) можно рассматривать переменную М (затраты на продвижение продукта), так как ее значение практически полностью определяется менеджментом фирмы.
Очевидно, для остальных переменных нельзя предсказать их точные значения, так как они зависят от ряда случайных факторов. Поэтому эти переменные, по существу, являются случайными величинами. Для их имитации необходимы наиболее правдоподобные предположения о соответствующих законах распределения. Они основываются на статистических исследованиях и экспертных оценках. Так, например, распределение спроса Sрын может быть выявлено в результате обработки статистических данных, собранных за ряд прошлых периодов. Очень часто исследуемое распределение имеет наибольшее и наименьшее значения, а также наиболее вероятную величину моду. На практике такие распределения могут сопроксимироваться законами: нормальным, треугольным и бета-плотностью.
Следует отметить, что нормальное распределение теоретически не имеет нижней и верхней границ, но практически более 99% всех его значений располагаются симметрично на промежутке конечной длины.
Если распределение не имеет ярко выраженную моду, то есть все значения спроса примерно равновероятны, то можно предположить равномерный закон
распределения. Конкретные виды кривых распределений описанных выше законов представлены на рис. 1, 2, 4, 6. Все они характеризуют непрерывные случайные величины. Однако на практике переменная может принимать отдельные фиксированные значения. В этом случае она рассматривается как дискретная случайная величина, закон распределения которой задается рядом распределения:
возможные значения случайной величины, соответствующие вероятности
В случае принятия решений, связанных с новым продуктом, набор статистики по большинству переменных невозможен и законы их распределения неизвестны.
Предположения о них могут быть сделаны по аналогии со сходными продуктами данного сегмента рынка при помощи экспертов. Для оценки параметров распределения специалистам (экспертам), например, могут быть поставлены следующие вопросы:
– какова ваша оценка минимального значения данной переменной;
– какова ваша оценка максимального значения переменной;
– какое значение переменной представляется вам наиболее вероятным;
– какие значения может принимать данная переменная и с какой вероятностью? И т. д.
Полученные от нескольких квалифицированных экспертов субъективные оценки следует усреднить и использовать в имитационном моделировании.
Предположим, что после проведения предварительных исследований, включающих статистический анализ рынка, а также экспертных оценок были получены следующие исходные данные для имитации переменных, входящих в уравнение прибыли (4):
– объем продаж (спрос) Sрын в сегменте рынка, где фирма собирается вводить новый продукт, подчиняется нормальному закону со средней ? = 25 000 ед. в год, стандартное отклонение ? = 3000 ед.;
– доля рынка нового продукта предполагается равномерно распределенной от 20 до 35%;
– продажная цена продукта с принимает значения 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52 у. д. е., где каждое из них может быть выбрано с одинаковой вероятностью 1/8;
– переменные затраты на ед. продукции v распределены равномерно от 16 до 24 у. д. е.;
– постоянные затраты F подчиняются равномерному закону на промежутке от 20 000 до 40 000 у. д. е.;
– затраты на рекламу и продвижение нового продукта составляют 100 000 у. д. е.
Процесс имитационного моделирования легко реализуется с помощью средств Excel. Важнейшую роль здесь играет функция СЛЧИС ( ), которая является датчиком случайных чисел. При каждом обращении к ней генерируется новое случайное число (значение равномерно распределенной на отрезке [0; 1] случайной величины).
С помощью данной функции можно осуществить имитацию (розыгрыш) любой непрерывной или дискретной случайной величины.
Для розыгрыша непрерывной случайной величины следует вычислять значения обратной функции по отношению к ее функции распределения.
Так, для имитации нормального закона с заданными параметрами в среде Excel используется функция НОРМОБР (СЛЧИС ( ); среднее значение; стандартное отклонение).
Функция СЛЧИС ( ) в данном случае задает некоторую вероятность, а функция НОРМОБР (вероятность; среднее значение; стандартное отклонение) определяет по заданной вероятности соответствующее значение нормальной случайной величины.
При этом имитируется событие: с заданной вероятностью разыгрываемая случайная величина примет значения, меньшие, чем величина, определенная с помощью функции НОРМОБР.
Каждое обращение к функции СЛЧИС порождает одну реализацию имитационного процесса. На практике ячейка электронной таблицы среды Excel, в которую помещена функция СЛЧИС, копируется нужное число раз и вместе с ней копируется ячейка с функцией НОРМОБР.
В рассматриваемой ситуации для моделирования годового спроса Sрын используется нормальный закон с параметрами: среднее значение равно 23 000 ед.; стандартное отклонение – 1200 ед. Его кривая распределения представлена на рис. 1.
Нормальная случайная величина спроса имитируется с помощью функции НОРМОБР (СЛЧИС ( ); 23 000; 1200).
Было проведено 500 реализаций, то есть соответствующие ячейки с функциями СЛЧИС и НОРМОБР копировались 500 раз. В табл. 1 представлены результаты пяти первых и пяти последних реализаций.
Для моделирования доли рынка нового продукта в первый год продаж осуществляется розыгрыш равномерно распределенной на отрезке [0,2; 0,35] случайной величины.
Кривая распределения равномерной величины будет иметь прямоугольный вид (рис. 2).
В общем случае случайная величина равномерно распределена на отрезке и имитация осуществляется с помощью копирования формулы
Имитация доли рынка производилась с помощью формулы
которая копировалась 500 раз. Пять первых и пять последних реализаций представлены в табл. 2.
Переменные затраты на ед. новой продукции имитируются, как и доля рынка, с помощью равномерного распределения на отрезке [16; 24]. Ячейка с формулой копируется 500 раз. Фрагмент результатов имитации представлен в табл. 3.
Аналогично имитируются постоянные затраты F, распределение которых подчиняется равномерному закону на [20 000; 40 000]. Формула для имитации имела вид Фрагмент результатов моделирования представлен в табл. 4.
Продажная цена нового продукта с имитируется как розыгрыш дискретной случайной величины с рядом распределения:
Процедура розыгрыша характеризуется следующими условиями попадания случайного числа в соответствующие интервалы:
Попадание сгенерированного с помощью функции СЛЧИС случайного числа в интервал от 0 до 0,125 означает, что в результате розыгрыша случайной величины было получено значение продажной цены, равное 45 у. д. е. Если случайное число оказалось в границах от 0,125 до 0,25, то продажная цена равна 46, и т. д.
В среде Excel данные условия можно моделировать с помощью функции ЕСЛИ:
Фрагмент результатов моделирования продажной цены нового продукта представлен в табл. 5.
Единственным параметром модели прибыли (4) являются фиксированные затраты на продвижение нового продукта М, равные 100 000 у. д. е. В результате каждой реализации вычисляются значения случайных переменных и прибыль определяется их подставкой в уравнение (4).
Пусть реализации характеризуются соответствующими строками табл. 1–4.
В табл. 6 представлен фрагмент результатов имитационного моделирования прибыли от реализации нового продукта в первый год продаж.
Обработка данных, содержащихся в колонке «Прибыль» табл. 6, дала следующие результаты (округление до целых чисел). Средняя прибыль составила 47 786 у. д. е., наибольшие потери – 33 437 у. д. е., наибольшая прибыль – 166 655 у. д. е. Из 500 реализаций только в 46 случаях наблюдались потери (отрицательные значения прибыли), то есть вероятность потерь оценивается как 46 / 500 = 0,092 (9,2%).
Медиана распределения равна 44 308 у. д. е., то есть с вероятностью 0,5 прибыль может превысить или быть меньше медианного значения.
В 42 реализациях прибыль была выше 100 000 у. д. е., то есть вероятность, что прибыль может превысить эту сумму, оценивается как 42 / 500 = 0,084 (8,4%).
Аналогично вероятность, что она может превзойти 50 000 у. д. е., – 229 / 500 = 0,458 (45,8%) и 30 000 у. д. е. – 328 / 500 = 0,656 (65,6%).
С помощью функции ЧАСТОТА был получен интервальный ряд распределения прибыли, который в виде гистограммы представлен на рис. 3.
Первичный анализ гистограммы показывает, что наибольшее количество реализаций (80) соответствует размеру прибыли от 15 до 30 тыс. у. д. е. Примерно такое же количество реализаций (78) соответствует промежутку от 60 до 75 тыс. у. д. е. 267 реализаций попали в интервал от 30 до 90 тыс. у. д. е. (80 + 63 + 78 + 46), что составляет 53,4% (267 / 500) всех испытаний. В целом полученные обобщающие показатели могут служить весомым аргументом в пользу принятия положительного решения о выводе нового продукта на рынок.
Рассмотрим теперь ситуацию, когда в распределении общего спроса в сегменте рынка для нового продукта известны минимальное, максимальное и наиболее вероятное значения (мода). В этом случае на практике часто используют бета-плотность.
Пусть, например, получена следующая оценка спроса: значения Sрын колеблются в пределах от 15 до 25 тыс. ед. и наиболее вероятное значение – 23 тыс. ед. Вид кривой бета-распределения зависит от двух параметров: Их можно подобрать таким образом, чтобы при мода была бы равна 23 000. Формула для вычисления моды (Мо) имеет вид
Например, из формулы (5) при получаем Mo = 23 000. Вид кривой бета-распределения представлен на рис. 4.
В среде Excel бета-распределение имитируется с помощью функции БЕТАОБР (СЛЧИС( ); a; b; А; В),
где А – минимальное значение, В – максимальное значение распределения.
В данном случае в ячейку электронной таблицы помещается функция
Общая имитация прибыли производится на основе уравнения (4), где Sрын моделируется с помощью формулы (6).
Процесс имитации включал 500 реализаций, результаты которых были сведены в таблицу, подобную табл. 6. Обработка данных по прибыли показала, что среднее значение равно 35 142 у. д. е., минимальное значение – 41 412 у. д. е., максимальное значение – 139 007 у. д. е. Значение медианы равнялось 31 865 у. д. е., то есть с вероятностью 0,5 прибыль может быть меньше, чем превышать медианное значение.
Количество потерь, то есть значений прибыли меньше нуля, составляет 100. Отсюда вероятность потерь можно оценить как 100 / 500 = 0,2 (20%). 26 из 500 реализаций показали прибыль, превышающую 100 000 у. д. е., то есть вероятность этого события равна 26 / 500 = 0,052 (5,2%). Аналогично вероятность, что прибыль превышает 50 000 у. д. е., равна 180 / 500 = 0,36 (36%) и 30 000 у. д. е. – 256 / 500 = 0,512 (51,2%).
Гистограмма распределения прибыли представлена на рис. 5.
Как видно из рис. 5, наибольшее количество реализаций приходится на интервал значений прибыли от 15 до 30 тыс. у. д. е. В 255 (77 + 60 + 62 + 56) реализациях прибыль была в границах от 30 до 75 тыс. у. д. е., то есть вероятность, что значение прибыли попадает в этот интервал, оценивается как 255 / 500 = 0,51 (51%).
Сравнивая полученные оценки с обобщенными показателями, вычисленными в предыдущем случае (условие нормально распределенного спроса), можно заметить, что в случае бета-распределения спроса следует ожидать более низкой эффективности производства нового продукта. Так, средняя прибыль снизилась более чем на 25%, вероятность потерь увеличилась примерно в 2 раза, медианное значение уменьшилось почти на 28% и т. д.
Проведем имитацию в условиях спроса, распределенного по треугольному закону, с параметрами, идентичными соответствующим параметрам бета-распределения, рассмотренного выше: минимальное значение 15 тыс. ед., максимальное – 25 тыс. ед., наиболее вероятное – 23 тыс. ед. Кривая распределения треугольного спроса представлена на рис. 6.
Генерируя случайное число R, треугольное распределение Т в общем виде имитируется исходя из соотношения (обозначения даны на рис. 6):
В среде Excel условия (7) реализуются с помощью комбинаций СЛЧИС, КОРЕНЬ и ЕСЛИ.
В результате 500 реализаций и обработки данных по прибыли, полученных из уравнения (4), были рассчитаны основные статистические показатели. Среднее значение прибыли составило 35 984 у. д. е., минимальное значение было равно 48 398 у. д. е., максимальное – 148 441 у. д. е., медиана – 33 700 у. д. е. Из 500 реализаций в 89 наблюдалась отрицательная прибыль, то есть вероятность потерь оценивается как 89 / 500 = 0,178 (17,89%). Вероятность, что прибыль в первый год продаж превзойдет 100 000 у. д. е., оценивалась как 20 / 500 = 0,04 (4%), превзойдет 50 000 у. д. е. – 170 / 500 = 0,34 (34%) и превзойдет 30 000 у.д.е. – 246 / 500 = 0,492 (49,2%).
На рис. 7 представлена гистограмма распределения прибыли в условиях треугольного распределения спроса.
Как видно из рис. 7, наибольшее количество реализаций соответствует интервалу изменения прибыли от 15 тыс. до 30 тыс. у. д. е., в 56,2% ((83 + 69 + 65 + 64) / 500) всех реализаций прибыль изменилась в границах от 15 тыс. до 75 тыс. у. д. е.
Легко заметить, что, как и в случае бета-распределения спроса, выведение нового продукта на рынок будет менее эффективным по сравнению с ситуацией, когда спрос распределен нормально.
Очевидно, эффективность имитации прибыли на основе модели (4) в первую очередь будет зависеть от надежности предположений о законах распределения общего годового Sрын и доли рынка для нового продукта . Для определения вида распределения Sрын часто можно использовать статистические данные, собранные для прошлых маркетинговых исследований, а доля рынка оценивается, как правило, экспертным путем. Остальные переменные модели могут быть обоснованы, исходя из результатов технико-экономического планирования.
1) Сулицкий В.Н. Имитационное моделирование в маркетинговом планировании/ Журнал "Маркетинг в России и за рубежом" №6, 2010г.
|