Контрольная работа по предмету Высшая математика на тему: Контрольная по высшей математике

Пределы.
№666.
lim┬(x→∞)⁡〖(〖2x〗^4+3x^2+5x-6)/(〖x^3+3x〗^2+7x-1)〗=∞/∞=lim┬(x→∞)⁡〖(〖2x〗^4/x^4 +(3x^2)/x^4 +5x/x^4 -6/x^4 )/(〖x^3/x^4 +3x/x^4 〗^2+7x/x^4 -1/x^4 )=lim┬(x→∞)⁡〖(2+〖3/x^2 〗^(→0)+〖5/x^3 〗^(→0)-〖6/x^4 〗^(→0))/(〖1/x〗^(→0)+〖3/x^2 〗^(→0)+〖7/x^3 〗^(→0)-〖1/x^4 〗^(→0) )〗 〗=2/0=∞
№670.
lim┬(x→0)⁡〖(√(1+xsinx)-1)/x^2 〗=0/0=lim┬(x→0)⁡〖((√(1+xsinx)-1)(√(1+xsinx)+1))/(x^2 (√(1+xsinx)+1))=lim┬(x→0)⁡〖(1+xsinx-1)/(x^2 (√(1+xsinx)+1))=〗 〗 lim┬(x→0)⁡〖xsinx/(x^2 (√(1+xsinx)+1))=lim┬(x→0)⁡〖sinx/(x(√(1+xsinx)+1))=1∙lim┬(x→0)⁡〖1/(√(1+xsinx)+1)=1∙1/(√(1+0)+1)=1∙1/(1+1)=1/2〗 〗 〗
№671.
lim┬(x→0)⁡〖x/(∛(1+x)-1)〗=0/0=lim┬(x→0)⁡〖(x(∛((1+x)^2 )+∛(1+x)+1))/((∛(1+x)-1)(∛((1+x)^2 )+∛(1+x)+1) )=lim┬(x→0)⁡〖(x(∛((1+x)^2 )+∛(1+x)+1))/(1+x-1)=lim┬(x→0)⁡〖(x(∛((1+x)^2 )+∛(1+x)+1))/x=lim┬(x→0)⁡〖(∛((1+x)^2 )+∛(1+x)+1)=1+1+1=3〗 〗 〗 〗
№672.
lim┬(x→2)⁡〖(√(1+x+x^2 )-√(7x+2x-x^2 ))/(x^2-2x)〗=0/0=lim┬(x→2)⁡〖((√(1+x+x^2 )-√(7x+2x-x^2 ))(√(1+x+x^2 )+√(7x+2x-x^2 )))/(〖(x〗^2-2x)(√(1+x+x^2 )+√(7x+2x-x^2 )))=〗 lim┬(x→2)⁡〖(1+x+x^2-7x-2x+x^2)/(〖(x〗^2-2x)(√(1+x+x^2 )+√(7x+2x-x^2 )))=lim┬(x→2)⁡〖(1+〖2x〗^2-8x)/(〖(x〗^2-2x)(√(1+x+x^2 )+√(7x+2x-x^2 )))=lim┬(x→2)⁡〖(1+〖2x〗^2-8x)/(x(x-2)(√(1+x+x^2 )+√(7x+2x-x^2 )))=〗 〗 〗 √7/4
№673.
lim┬(x→0)⁡〖(1-cos5x)/(1-cos3x)〗=lim┬(x→0) ((25x^2)/2)/(〖9x〗^2/2)=lim┬(x→0) (25x^2)/〖9x〗^2 =25/9
№674.
lim┬(x→0)⁡〖(tgx-sinx)/x^3 =〗 lim┬(x→0)⁡〖((sinx-sinxcosx)/cosx)/x^3 〗=lim┬(x→0)⁡〖((sinx(1-cosx))/cosx)/x^3 =lim┬(x→0)⁡〖(((1-cosx))/cosx)/x^2 =〗 〗 lim┬(x→0)⁡〖(x^2/2)/(x^2 cosx)=lim┬(x→0)⁡〖(1/2)/cosx=〗 〗 lim┬(x→0)⁡〖(1/2)/cosx=〗 (1/2)/1=1/2
№675.
lim┬(x→0)⁡〖(ln⁡(1+mx))/x=〗 lim┬(x→0)⁡〖mx/x=〗 m
№676.
lim┬(x→±∞)⁡〖(2^x+3)/(2^x-3)〗
При x→+∞ 2^x→+∞. Следовательно,
lim┬(x→+∞)⁡〖(2^x+3)/(2^x-3)〗=lim┬(x→+∞)⁡〖(2^x/2^x +3/2^x )/(2^x/2^x -3/2^x )〗=lim┬(x→+∞)⁡〖(1+3/2^x )/(1-3/2^x )〗=1
При x→-∞ 2^x→-∞. Следовательно,
lim┬(x→-∞)⁡〖(2^x+3)/(2^x-3)〗=lim┬(x→-∞)⁡〖(2^x/2^x +3/2^x )/(2^x/2^x -3/2^x )〗=lim┬(x→-∞)⁡〖(1+3/2^x )/(1-3/2^x )〗=-1
№677.
lim┬(x→∞)⁡〖(√(x^2+ax+b)-√(x^2+cx+b))=〗 lim┬(x→∞)⁡〖(√(x^2+ax+b)-√(x^2+cx+b))(√(x^2+ax+b)+√(x^2+cx+b))/((√(x^2+ax+b)+√(x^2+cx+b)) )=lim┬(x→∞)⁡〖(x^2+ax+b-x^2-cx-b)/((√(x^2+ax+b)+√(x^2+cx+b)) )=lim┬(x→∞)⁡〖(ax-cx)/((√(x^2+ax+b)+√(x^2+cx+b)) )=〗 〗 〗 lim┬(x→∞)⁡〖(x(a-c))/((√(x^2+ax+b)+√(x^2+cx+b)) )=lim┬(x→∞)⁡〖((x(a-c))/x)/((√(x^2/x^2 +ax/x^2 +b/x^2 )+√(x^2/x^2 +cx/x^2 +b/x^2 )) )=lim┬(x→∞)⁡〖(a-c)/((√(1+a/x+b/x^2 )+√(1+c/x+b/x^2 )) )=〗 〗 〗 (a-c)/((√(1+0+0)+√(1+0+0)) )⁡= (a-c)/(1+1)=(a-c)/2
№678.
lim┬(x→∞)⁡(sin√(x+1)-sin√x)
При x→∞ sinx→1. Следовательно,
lim┬(x→∞)⁡(sin√(x+1)-sin√x)=1-1=0
№679.
lim┬(x→∞)⁡(∛(x+1)-∛x)=lim┬(x→∞)⁡〖(∛(x+1)-∛x)(∛((x+1)^2 )+∛(x(x+1))+∛(x^2 ))/((∛((x+1)^2 )+∛(x(x+1))+∛(x^2 )) )=lim┬(x→∞)⁡〖(x+1-x)/((∛((x+1)^2 )+∛(x(x+1))+∛(x^2 )) )=lim┬(x→∞)⁡〖1/((∛((x+1)^2 )+∛(x(x+1))+∛(x^2 )) )=〗 〗 〗 1/∞=0
№680.
lim┬(x→∞)⁡〖〖1-5〗^x/〖1-e〗^x =〗 lim┬(x→∞)⁡〖xln5/x=lim┬(x→∞)⁡〖ln5/1=〗 〗 ln5
№681.
lim┬(x→∞)⁡〖〖8^x-7〗^x/〖6^x-5〗^x =〗 lim┬(x→∞)⁡〖(xln8-xln7+2)/(xln6-xln5+2)=〗 lim┬(x→∞)⁡〖(ln8-ln7+2/x)/(ln6-ln5+2/x)=(ln8-ln7)/(ln6-ln5)=(ln 8/7)/(ln 6/5)〗
№682.
lim┬(x→0)⁡〖sin2x/(ln⁡(1+x))=〗 lim┬(x→0)⁡〖2x/x=2〗
№683.
lim┬(x→0)⁡〖(5^x-1)/x=〗 lim┬(x→0)⁡〖xln5/x=ln5〗
№684.
lim┬(x→1)⁡〖(∜x-1)/(x-1)=〗 lim┬(x→1)⁡〖((∜x-1)(∜x+1)(√x+1))/(x-1(∜x+1)(√x+1))=〗 lim┬(x→1)⁡〖(x-1)/((x-1)(∜x+1)(√x+1))=〗 lim┬(x→1)⁡〖1/((∜x+1)(√x+1))=1/(2+2)=1/4〗
№685.
lim┬(x→±0)⁡〖sinx/(|x|)〗
lim┬(x→+0)⁡〖sinx/(|x|)〗=1
lim┬(x→-0)⁡〖sinx/(|x|)〗=-1
№686.
lim┬(t→0)⁡〖(t+sint)/(t-sint)〗=lim┬(x→0)⁡〖(t+t)/(t-t)〗=lim┬(x→0)⁡〖2t/0〗=∞
№687.
lim┬(x→0)⁡〖(sin3x-sinx)/(ln⁡(x+1))=〗 lim┬(x→0)⁡〖(3x-x)/x=〗 2
№688.
lim┬(x→5-0)⁡〖〖10〗^(1/(x-5))=〖10〗^(1/(5-5))=〗 〖10〗^(1/(-0))=〖10〗^(-∞)=0
№689.
lim┬(x→∞)⁡sinx –не существует.
Покажем, что предела не существует при х стремящемся к бесконечности. Для этого выберем последовательность { } так, чтобы при n стремящемся к бесконечности, х тоже стремился к бесконечности.








№690.
lim┬(x→1)⁡〖(x^5-1)/(x^4-1)=〗 lim┬(x→1)⁡〖〖5x〗^4/〖4x〗^3 =5/4〗
№691.
lim┬(t→∞)⁡t (√(t&a)-1)(где t>0)
lim┬(t→∞)⁡t (√(t&a)-1)=lim┬(t→∞)⁡t (a^(1/t)-1)=lim┬(t→∞)⁡t (1/t lna)=lna
№692.
lim┬(x→∞)⁡〖((x^2+1)/x^2 )^(x^2+1)=lim┬(x→∞)⁡〖(1+1/x^2 )^(x^2+1) 〗 〗=lim┬(x→∞)⁡〖(1+1/x^2 )^(〖(x〗^2+1)∙1/x^2 )=〗
〖=e〗^lim┬(x→∞)⁡〖〖(x〗^2+1)∙1/x^2 〗 〖=e〗^lim┬(x→∞)⁡〖(〖(x〗^2+1))/x^2 〗 =e
№693.
lim┬(x→∞)⁡〖(1+3/x)^x=〗 lim┬(x→∞)⁡〖(1+1/(x/3))^x=〗 lim┬(x→∞)⁡〖((1+1/(x/3))^(x/3) )^(x∙3/x) 〖=e〗^lim┬(x→∞)⁡〖x∙3/x〗 =e^3 〗
№694.
lim┬(x→3)⁡〖(1/(x-3)-6/(x^2-9))=〗 lim┬(x→3)⁡〖((x+3-6)/(x^2-9))=lim┬(x→3)⁡〖((x-3)/(x^2-9))=lim┬(x→3)⁡〖((x-3)/((x-3)(x+3)))=lim┬(x→3)⁡〖(1/(x+3))=1/6〗 〗 〗 〗
№695
lim┬(x→0)⁡〖((5^x-4^x)/(x^2+x))=〗 lim┬(x→0)⁡〖((5^x-4^x+1-1)/(x(x+1)))=〗 lim┬(x→0)⁡〖((xln5-xln4)/(x(x+1)))=〗 lim┬(x→0)⁡〖((ln5-ln4)/(x+1))=lim┬(x→0)⁡〖((ln 5/4)/(x+1))=〗 〗 ln 5/4

№696.
lim┬(x→0)⁡〖(x^x-1)/xlnx=〗 lim┬(x→0)⁡〖(x^x (lnx+1))/(lnx-1)=〗 lim┬(x→0)⁡〖(x^x (lnx+1)(lnx+1)+x^x 1/x)/(1/x)=lim┬(x→0)⁡〖(〖x(x〗^x (lnx+1)(lnx+1)+x^x 1/x) )/1=lim┬(x→0)⁡〖(〖x(x〗^x (lnx+1)(lnx+1)+x^x 1/x) )/1=〗 (0+1)/1=1〗 〗
№697.
lim┬(x→0)⁡〖ln⁡(1-3x)/x=〗 lim┬(x→0)⁡〖(-3x)/x=〗-3

№698.
lim┬(x→∞)⁡〖(x^4+〖5x〗^3+7)/(〖2x〗^5+〖3x〗^4+1)〗=lim┬(x→∞)⁡〖(x^4/x^5 +〖5x〗^3/x^5 +7/x^5 )/(〖2x〗^5/x^5 +〖3x〗^4/x^5 +1/x^5 )〗=(0+0+0)/(2+0+0)=0
№699.
lim┬(x→0)⁡〖(ln⁡(x+2)-ln2)/x=〗 lim┬(x→0)⁡〖(1/(x+2))/1=1/2〗
№700.
lim┬(x→∞)⁡〖((x+8)/(x-2))^x=〗 lim┬(x→∞)⁡〖((x-2+10)/(x-2))^x=〗 lim┬(x→∞)⁡〖(1+10/(x-2))^x=〗 lim┬(x→∞)⁡〖(1+1/((x-2)/10))^x=〗 lim┬(x→∞)⁡〖((1+1/((x-2)/10))^((x-2)/10) )^(x∙10/(x-2)) 〖=e〗^lim┬(x→∞)⁡〖10x/(x-2)〗 =e^10 〗
№701.
lim┬(α→0)⁡〖(2-cosα)^(cosec^2 α)=〗 lim┬(α→0)⁡〖(1+(1-cosα))^(cosec^2 α)=lim┬(α→0)⁡〖(1+α^2/2 )^(cosec^2 α) 〖=e〗^lim┬(x→∞)⁡〖cosec^2 α∙α^2/2〗 〖=e〗^lim┬(x→∞)⁡〖1/(〖sin〗^2 α)∙α^2/2〗 =e^(1/2)=√e〗 〗
№702.
lim┬(x→∞)⁡〖((x+a)/(x+b))^(x+c)=〗 lim┬(x→∞)⁡〖((x+b-b+a)/(x+b))^(x+c)=〗 lim┬(x→∞)⁡〖(1+(a-b)/(x+b))^(x+c)=〗 lim┬(x→∞)⁡〖(1+1/((x+b)/(a-b)))^(x+c)=〗 lim┬(x→∞)⁡〖((1+1/((x+b)/(a-b)))^((x+b)/(a-b)) )^((x+c)∙(a-b)/(x+b)) 〖=e〗^lim┬(x→∞)⁡〖(x+c)∙(a-b)/(x+b)〗 =e^(a-b) 〗
№703.
lim┬(x→2)⁡〖(x/2)^(1/(x-2))=〗 lim┬(x→2)⁡〖((x-2+2)/2)^(1/(x-2))=〗 lim┬(x→2)⁡〖(1+(x-2)/2)^(1/(x-2))=〗 lim┬(x→2)⁡〖(1+1/(2/(x-2)))^(1/(x-2))=〗 lim┬(x→2)⁡〖((1+1/(2/(x-2)))^(2/(x-2)) )^((x-2)/2∙1/(x-2)) 〖=e〗^lim┬(x→2)⁡〖(x-2)/2∙1/(x-2)〗 =√e〗

Нет