Диплом по предмету Педагогика на тему: Применение дифференциала и определенного интеграла в школьных и вузовских задачах физики

ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ 3 ГЛАВА I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ПРИМЕНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛА И ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА В РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ПО ФИЗИКЕ 6 1.1. Понятие, свойства и прикладное значение дифференциала функции одной действительной переменной 6 1.2. Понятие, свойства и сферы физических приложений определенного интеграла 10 1.3. Основные типы физических задач на применение дифференциала и определенного интеграла 19 ГЛАВА II. ОСНОВЫ МЕТОДИКИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ФИЗИКЕ С ПРИМЕНЕНИЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛА И ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА……………………………………………………………………25 2.1. Примеры и методические рекомендации к решению школьных задач по физике с применением дифференциала 25 2.2. Примеры и методические рекомендации к решению школьных задач по физике с применением определенного интеграла 28 2.3. Примеры и методические рекомендации к решению задач по физике с применением дифференциала в вузе 36 2.4. Примеры и методические рекомендации к решению задач по физике с применением определенного интеграла в вузе 40 ЗАКЛЮЧЕНИЕ 46 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 48

ГЛАВА II. ОСНОВЫ МЕТОДИКИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ФИЗИКЕ С ПРИМЕНЕНИЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛА И ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 2.1. Примеры и методические рекомендации к решению школьных задач по физике с применением дифференциала Пример 1. Цилиндрический воздушный конденсатор с внутренним R1 и внешним R2 радиусами заряжен до разности потенциалов Δφ0. Пространство между обкладками заполнено слабо проводящей средой с удельным сопротивлением ρ. Определить: 1) сопротивление среды; 2) силу тока утечки, если высота конденсатора L (ρ – считать постоянным). Решение. Рассмотрим участок пространства между обкладками конденсатора. Так как среда слабо проводящая, будем считать, что разность потенциалов электрического поля – величина постоянная, участок однородный. Тогда разобьем этот участок на слои величиной dr. Элементарное сопротивление такого тонкостного цилиндрического слоя радиусом r и толщиной dr равно: . Так как слои соединены последовательно, то результирующее сопротивление можно записать следующим образом: . Рис.6. Цилиндрический воздушный конденсатор Для однородного участка цепи силу тока найдем по закону Ома в интегральной форме: . Ответ: ; [14, с. 6]. Пример 2. Длинный проводник круглого сечения радиусом r сделан из материала, удельное сопротивление которого зависит только от расстояния r до оси проводника, как ρ=a/r2, где a=const. По проводнику течет ток I; найти: 1) сопротивление единицы длины проводника; 2) напряженность поля в проводнике. Рис.7. Проводник Проводник неоднородный, так как его сопротивление меняется с изменением расстояния от оси проводника. Покажем, что E=const во всех точках сечения данного проводника. Воспользуемся теоремой о циркуляции E. Замкнутый контур внутри проводника выберем в виде прямоугольника, одна сторона которого совпадет с осью проводника (рис. 7). , т.е. напряженность постоянна во всех точках проводника. Из закона Ома в интегральной форме сопротивление проводника равно: , но U=EL, тогда: . Теперь найдем E из закона Ома для однородного участка цепи в форме: . По определению: , отсюда , так как проводник имеет круглое сечение r, то а , отсюда . Теперь найдем сопротивление проводника из закона Ома в интегральной форме для однородного участка цепи: ; U=EL=> . Ответ: , [14, с. 9]. 2.2. Примеры и методические рекомендации к решению школьных задач по физике с применением определенного интеграла Умение интегрировать – это не только навык в вычислении интеграла, но и умение применить эти знания в решении ряда прикладных задач. В работе мы рассмотрим три различные задачи на применение интеграла. Основной целью считаем не столько показать теоретический материал, который можно почерпнуть и из учебника, сколько разобрать некоторые практические задачи, показать способ их решения, дать графическое сопровождение задачи, что позволяет более точно представить объект исследования и быстро найти необходимый путь решения. В каждой теме мы приведем несколько задач от более простой к более сложной и постараемся проиллюстрировать их. Мы считаем, что такой набор задач удобен при изучении применения интеграла, а графическое сопровождение задачи делает ее не только более простой при решении, но и более интересной, ведь достаточно часто трудно найти решение еще и потому, что нет четкого представления того объекта или той фигуры, которую необходимо рассмотреть. Схема решения задач на приложения определенного интеграла С помощью определенного интеграла можно решать различные задачи физики, механики и т. д., которые трудно или невозможно решить методами элементарной математики. Так, понятие определенного интеграла применяется при решении задач на вычисление работы переменной силы, давления жидкости на вертикальную поверхность, пути, пройденного телом, имеющим переменную скорость, и ряд других. Несмотря на разнообразие этих задач, они объединяются одной и той же схемой рассуждений при их решении. Искомая величина (путь, работа, давление и т.д.) соответствует некоторому промежутку изменения переменной величины, которая является переменной интегрирования. Эту переменную величину обозначают через Х, а промежуток ее изменения – через [а, b]. Отрезок [a, b] разбивают на n равных частей, в каждой из которых можно пренебречь изменением переменной величины. Этого можно добиться при увеличении числа разбиений отрезка. На каждой такой части задачу решают по формулам для постоянных величин. Далее составляют сумму (интегральную сумму), выражающую приближенное значение искомой величины. Переходя к пределу при n→∞, находят искомую величину I в виде интеграла: , где f(x) – данная по условиям задачи функция (сила, скорость и т. д.). Нахождение пути, пройденного телом при прямолинейном движении Как известно, путь, пройденный телом при равномерном движении за время t, вычисляется по формуле S = vt. Если тело движется неравномерно в одном направлении, и скорость его меняется в зависимости от времени t, т. е. v = f(t), то для нахождения пути, пройденного телом за время от t1 до t2 , разделим этот промежуток времени на n равных частей Δt. В каждой из таких частей скорость можно считать постоянной и равной значению скорости в конце этого промежутка. Тогда пройденный телом путь будет приблизительно равен сумме , т.е. . Если функция v(t) непрерывна, то . Итак, (1). Вычисление работы силы, произведенной при прямолинейном движении тела Пусть тело под действием силы F движется по прямой s, а направление силы совпадает с направлением движения. Необходимо найти работу, произведенную силой F при перемещении тела из положения a в положение b. Если сила F постоянна, то работа находится по формуле A = F (b – a) (произведение силы на длину пути). Пусть на тело, движущееся по прямой Ох, действует сила F, которая изменяется в зависимости от пройденного пути, т. е. F=f(x) . Для того чтобы найти работу, совершаемую силой F на отрезке пути от а до b, разделим этот отрезок на n равных частей . Предположим, что на каждой части сила сохраняет постоянное значение F(x1), F(x2), …, F(xk),…, F(xn). Составим интегральную сумму, которая приближенно равна значению произведенной работы: A ≈ F(x1) ∆x, F(x2) ∆x, …, F(xk) ∆x,…, F(xn) ∆x, т.е. работа, совершенная этой силой на участке от а до b, приближенно равна сумме: . Итак, работа переменной силы вычисляется по формуле: (2). Вычисление работы, затраченной на растяжение или сжатие пружины Согласно закону Гука, сила F, необходимая для растяжения или сжатия пружины, пропорциональна величине растяжения или сжатия. Пусть х – величина растяжения или сжатия пружины. Тогда F = kx, где k – коэффициент пропорциональности, зависящий от свойства пружины. Работа на участке выразится формулой ∆A ≈ F ∆x, а вся затраченная работа или . Если ∆x>0, то погрешность величины работы стремится к нулю. Для нахождения истинной величины работы следует перейти к пределу: . Итак, (3). Определение силы давления жидкости на вертикально расположенную пластинку Из физики известно, что сила Р давления жидкости на горизонтально расположенную площадку S, глубина погружения которой равна h, определяется по формуле: (4), где – плотность жидкости. Выведем формулу для вычисления силы давления жидкости на вертикально расположенную пластинку произвольной формы, если ее верхний край погружен на глубину a, а нижний – на глубину b. Так как различные части вертикальной пластинки находятся на разной глубине, то сила давления жидкости на них неодинакова. Для вывода формулы нужно разделить пластинку на n горизонтальных полос одинаковой высоты . Каждую полосу приближенно можно считать прямоугольником. По закону Паскаля сила давления жидкости на такую полосу равна силе движения жидкости на горизонтально расположенную пластинку той же площади, погруженной на ту же глубину. Тогда согласно формуле (4) сила давления на полосу, находящуюся на расстоянии х от поверхности, составит , где – площадь полосы. Составим интегральную сумму и найдем ее предел, равный силе давления жидкости на всю пластинку: , т.е. (5). Если верхний край пластинки совпадает с поверхностью жидкости, то а=0 и формула (5) примет вид: (5). Ширина каждой полосы зависит от формы пластинки и является функцией глубины х погружения данной полосы. Для пластинки постоянной ширины формула (5) упрощается, так как эту постоянную можно вынести за знак интеграла: . Примеры школьных задач Пример 3. Скорость движения материальной точки задается формулой V= (4 м/с. Найти путь, пройденный точкой за первые 4с от начала движения. Решение: Пример 4. Скорость движения изменяется по закону v=2t м/с . Найти длину пути, пройденного телом за 3-ю секунду его движения. Решение: Так как третья минута движения сопровождается изменением скорости тела по закону v=2t, где t0=2, а t=3. Следовательно, применяя определенный интеграл, можем записать, что пройденный путь будет равен: Пример 5. Скорость движения тела задана уравнением м/с. Определить путь, пройденный телом от начала движения до остановки. Решение: Скорость движение тела равна нулю в момент начала его движения и остановки. Найдем момент остановки тела, для чего приравняем скорость нулю и решим уравнение относительно t. Получим, что 12t-3t2=0, сделав элементарные преобразования выражения, можем записать, что 3t(4-t)=0. По условию известно, что тело начало двигаться из состояния покоя, поэтому t1=0, а t2=4. Следовательно, конечное выражение для нахождения пройденного расстояния будет иметь вид: Ответ: S=32 м. Пример 6.Тело брошено вертикально вверх со скоростью, которая изменяется по закону м/с. Найти наибольшую высоту подъема. Решение: Найдем время, в течении которого тело поднималось вверх: 29,4–9,8t=0 (в момент наибольшего подъема скорость равна нулю); t = 3 с. Поэтому Пример 7. Какую работу совершает сила в 10Н при растяжении пружины на 2 см? Решение: По закону Гука сила F, растягивающая пружину, пропорциональна растяжению пружины , т.е. F = kx. Используя условие, находим (Н/м), т.е. F = 500x. Получаем Пример 8. Сила в 60Н растягивает пружину на 2 см. Первоначальная длина пружины равна 14 см. Какую работу нужно совершить, чтобы растянуть ее до 20 см? Решение: Имеем (H/м) и, следовательно, F=3000x. Так как пружину требуется растянуть на 0,06 (м), то Пример 9. Определить силу давления воды на стенку шлюза, длина которого 20 м, а высота 5 м (считая шлюз доверху заполненным водой). Здесь y = f(x) = 20, a = 0, b = 5 м, кг/ . Находим Пример 10. В воду опущена прямоугольная пластинка, расположенная вертикально. Ее горизонтальная сторона равна 1 м, вертикальная 2 м. Верхняя сторона находится на глубине 0,5 м. Определить силу давления воды на пластинку. Решение: Здесь y = 1, a = 0,5, b = 2 + 0,5 = 2,5 (м), = 1000 кг/ . Следовательно, Пример 11. Скорость прямолинейного движения точки задана уравнением . Найти уравнение движения точки. Решение: Известно, что скорость прямолинейного движения тела равна производной пути s по времени t, т.е. , откуда ds = v dt. Тогда имеем . Это искомое уравнение. Пример 12. Скорость тела задана уравнением . Найти уравнение движения, если за время тело прошло путь . Решение: Имеем ds = v dt = (6 + 1) dt; тогда Подставив в найденное уравнение начальные условия s = 60 м, t = 3 c, получим откуда С = 3. Искомое уравнение примет вид s=2t3+t+3. Пример 13. Тело движется со скоростью м/с. Найти закон движения s(t), если в начальный момент тело находилось на расстоянии 5 см от начала отсчета. Решение: Так как ds = v dt = ( , то Из условия следует, что если t = 0, то s = 5 см = 0,05 м. подставив эти данные в полученное уравнение, имеем s= t3-t+C откуда 0,05 = С. Тогда искомое уравнение примет вид s=t3-t+0,05. Пример 14. Вычислить силу давления воды на плотину, имеющую форму трапеции, у которой верхнее основание, совпадающее с поверхностью воды, имеет длину 10 м, нижнее основание 20 м, а высота 3 м. Решение: . Пример 15. Цилиндрический стакан наполнен ртутью. Вычислить силу давления ртути на боковую поверхность стакана, если его высота 0,1 м, а радиус основания 0,04 м. Плотность ртути равна 13600 кг/ . Решение: Вычислим площадь круглой полоски Элементарная сила давления составляет Следовательно . Ответ: P=167,6 H. 2.3. Примеры и методические рекомендации к решению задач по физике с применением дифференциала в вузе Применение дифференциала Пример 16. Определить заряд Q, прошедший по проводу с сопротивлением R=3 Ом при равномерном нарастании напряжения на концах провода от U0=2В до U=4В в течении t=20с. Решение. Так как сила тока в проводе изменяется, то воспользоваться для подсчета заряда формулой Q = I t нельзя. Поэтому возьмем дифференциал заряда: dQ = Idt . И проинтегрируем: (6). Выразив силу тока по закону Ома: и подставив данное выражение в предыдущее выражение определенного интеграла, получаем: (7). Напряжение в данном случае переменное. В силу равномерности нарастания оно может быть выражено формулой: U=U0+kt (8), где k – коэффициент пропорциональности. Подставив (8) в (7) получим: . Проинтегрировав, получим: Значение коэффициента k найдем из (8), учитывая, что при t=20c, U=4В. k = (U -U0)/ t = 0,1 В/с; Расчет: Q=20 Кл. Ответ: Q=20 Кл. [14, с. 7]. Применение дифференциала Приближенное вычисление значений функции с помощью дифференциала Рассмотрим вопрос об использовании дифференциала в приближенных вычислениях. Известно, что и , поэтому можно записать ∆y≈dy + α∆x. Это позволяет сделать вывод о том, что ∆y≈dy, т.е. приближенное значение приращения функции совпадает с ее дифференциалом. Функция может иметь довольно сложное выражение и ее приращение не всегда просто найти, но при достаточно малых значениях |∆x| приращение функции можно заменить ее дифференциалом, исключая точки, где у' = 0. Отсюда находим: f(x+∆x)-f(x)≈dy, с помощью небольших преобразований получаем выражение вида: f(x+∆x)≈f(x)+dy. Надо сказать, что это одна из основных формул для приближенных вычислений. Пример 17. Физический процесс может быть описан функцией y = x3 – 7x2 + 80. Пользуясь понятием дифференциала функции, вычислить приближенно изменение графика функции при изменении аргумента х от 5 до 5,01. Решение. Находим ∆у dy = y' ∆x = (3x2 – 14x) ∆x. При х = 5, ∆x = 5,01 – 5 = 0,01 получим ∆у|x=5, ∆x = 0,01 = (3× 52 – 14× 5) × 0,01 = (3× 25 - 14 × 5) × 0,01 = 0,05 Вычисление погрешности приближенного приращения функции. Абсолютная и относительная погрешности. Рассмотрим функцию y = f(x). Предположим, что величина х получена непосредственным измерением или в результате приближенного вычисления. Тогда при нахождении величины х допускается некоторая погрешность ∆х. Пусть х – приближенное значение аргумента (измеряемой величины), ∆х – абсолютная погрешность величины х, (х + ∆х) – истинное значение измеряемой величины (∆х может быть как положительным, так и отрицательным числом). Тогда х определяет приближенное значение функции f(х), а (х +∆х) – ее истинное значение f(х + ∆х), из чего следует, что точное приращение функции ∆y = f( х + ∆х) - f(х). При близких к нулю значениях ∆х величину ∆y можно приближенно заменить дифференциалом dy: ∆y = f( х + ∆х) - f(х) f'(x)dx=dy Тогда абсолютная погрешность вычисляется по формуле ∆ = |∆y - dy|, а относительная погрешность по следующей формуле: [1, с. 56]. Пример 18. Найти приближенно приращение функции у = 3х2 + 2 при х =2 и ∆x = 0,001. Определить абсолютную и относительную погрешности вычисления. Решение. Так как приращение аргумента – величина малая, то приращение функции можно заменить ее дифференциалом: ∆у dу|x=2, ∆x = 0,001 = 6xdx|x=2, ∆x = 0,001 = 6× 2× 0,001 = 0,012. Найдем ошибку, полученную при замене приращения функции ее дифференциалом. Для этого вычислим точное значение приращения функции: ∆у = f(x + ∆x) – f(x) = 3(x + ∆x)2 + 2 – (3x2 + 2) = 3x2 + 6x∆x +3(∆x)2 + 2 – 3x2 – 2 = 6x∆x + 3(∆x)2; ∆у|x=2, ∆x = 0,001 = 6× 2× 0,001 + 3× 0,000001 = 0,012003. Сравнивая точное значение ∆у с приближенным, видим, что абсолютная погрешность есть ∆ = |∆y – dy| = 0,000003. Относительная погрешность составляет: [5, с. 48]. Нахождение приближенного значения функции. Пример 19. Найти приближенное значение функции при х = 1,02. Решение. Воспользуемся формулой f( х + ∆х) f(x)+dy. В данном случае следует принять х = 1. Тогда ∆х =1,02 – 1 = 0,02. Значение функции при х = 1 определяется легко: . Далее находим . Следовательно, f(1,02) f(1)+ 0,03 = 2 + 0,03 = 2,03. Если значение данной функции при х = 1,02 вычислить непосредственно, то получим , т.е. разность между точным значением функции при х = 1,02 и ее приближенным значением является числом очень малым: 2,03007 - 2,03 = 0,00007 [7, с. 73]. 2.4. Примеры и методические рекомендации к решению задач по физике с применением определенного интеграла в вузе Рассматривая вузовские задачи по физике на применение определенного интеграла, стоит обратить внимание на то, что данная функция позволяет значительно сократить объем решения. Однако стоит заметить, что применимость данного понятия для решения задач более сложного уровня, которые отличаются от типовых, уже происходит сложнее. В основном это связано с недостаточным уровнем знаний учащихся в области физики, так как успех решения подобного типа задач напрямую зависит от способности обучаемых объяснить то или иное физическое явление, знать все процессы, которые при этом происходят [4, с. 23]. Пример 20. По проводнику сопротивлением R=50 Ом течет ток, сила которого равномерно нарастает от Jo=1А до Jmax=4А за время t=6c. Определить за это время: 1) заряд, протекший по проводнику; 2) выделившееся в проводнике количество теплоты. Решение. По условию задачи сила тока равномерно растет, тогда закон изменения тока с течением времени имеет вид: Jmax + kt, где k – коэффициент проводимости. Найдем k согласно следующему выражению: (А/с). По определению: , тогда можем записать следующее уравнение . Проинтегрировав его правую и левую часть, получаем выражение вида: , а теперь, применив свойства интеграла к правой и левой части, получим, что в левой части остается значение q, а в правой выражение, полученное от подстановки значений t и 0 в первообразную: . По условию задачи, нам известно, что сила тока равномерно нарастает, изменяя свои значения в пределах от Jo=1А до Jmax=4А за время t=6c. В результате простых преобразований получается, что q=15Кл. Ответ: q=15Кл. Тогда можно выяснить, какое количество теплоты выделится в проводнике за бесконечно малый промежуток времени. Согласно закону Джоуля-Ленца: dQ=J2Rdt=(J0+kt)2Rdt=J02Rdt+2J0ktRdt+k2t2Rdt. Проинтегрировав и подставив численные значения k, R, Jo, t, получим: Дж. Ответ: q = 15 Kл; Q = 2100 Дж = 2,1 кДж [14, с. 10]. Пример 21. Определить работу А, необходимую для запуска ракеты массой m с поверхности Земли вертикально вверх на высоту h. Решение. Обозначим через F величину силы притяжения ракеты Землей. Рис. 8. Модель полета ракеты Мы хотим вычислить скорость V, до которой нужно разогнать тело (ракету), чтобы затем оно, удаляясь по инерции от планеты вдоль радиуса, уже никогда не было возвращено притяжением планеты назад. Эта скорость называется второй космической, в отличие от первой космической, которую должен иметь спутник, выходящий на орбиту у поверхности планеты. Пусть m – масса тела, М – масса планеты. Кинетической энергии mv2/2, которой следует наделить тело для выхода из поля притяжения планеты, должно хватить, чтобы совершить работу против силы тяготения. Величина этой силы на расстоянии r от центра планеты по открытому Ньютоном закону всемирного тяготения равна GmM/r2, где G – гравитационная постоянная. Таким образом, эта сила меняется, причем ослабевает по мере удаления от планеты [11, с. 47]. Вычислим работу ARR0, которую нужно совершить, чтобы тело, находящееся на высоте R0 (считая от центра планеты), поднять на высоту R. Если бы сила была постоянна, то мы просто умножили бы ее величину на длину R - R0 пройденного вдоль направления ее действия пути и нашли бы совершенную работу. Но сила меняется, поэтому мы разобьем весь промежуток [R0; R] точками R0 = r0 < 1 < ... < rn = R на маленькие промежутки, в пределах которых изменением силы можно пренебречь; найдем приближенно элементарные работы G • mM/ri2 (ri - ri-1) = G mM/ri2 ∆ri на каждом из промежутков [ri-1; ri]. Сложив элементарные работы G mM/r12 ∆r1 + GmM/r22 ∆r2 + ... + GmM/rn2 ∆rn, получим приближенное значение искомой работы ARR0 на промежутке [R0;R], а точнее значение ARR0 выражается следующим интегралом: ARR0 = ∫RR0 GmM/r2 dr, в котором роль переменной интегрирования играет r. Величины G, m, M постоянны, а функция r-2 имеет первообразную – r-1, зная которую по формуле Ньютона-Лейбница находим ARR0 = GmM (1/R0 - I/R). Если R увеличивать неограниченно, т.е., как говорят, удалять тело на бесконечность, то, переходя к пределу при R → ∞, получаем A∞R0 = GmM/R0, где ∞-символ, читаемый «бесконечность». Если в последней формуле считать, что R0 – радиус планеты, то A∞R0 будет работой, которую надо совершить против сил тяготения, чтобы тело с поверхности планеты ушло в бесконечность [20, с. 69]. Полученное для A∞R0 выражение можно упростить, если вспомнить другой закон Ньютона F = ma, связывающий силу F и вызванное ею ускорение a тела массы m. Свободно падающее на планету тело у ее поверхности имеет ускорение а = g, вызванное силой притяжения F = GmM/R02, где R0 - радиус планеты. Значит, GmM/R02 = mg, откуда следует, что GmM/R02 = g и, значит A∞R0 = mGR0. Это и есть формула для подсчета работы, необходимой для выхода из поля притяжения планеты. Для «ухода» с планеты по инерции нужно иметь вертикальную скорость v, при которой кинетическая энергия mv2/2 тела не меньше или, по крайней мере, равна работе затрачиваемой на преодоление притяжения планеты [19, с. 57]. Таким образом, вторая космическая скорость, получаемая из равенства mv2/2 = mgR0, выражается в виде v = √(2gR0). В частности, для Земли g ≈ 10 м/с2, R0 ≈ 6 400 000 м, поэтому v ≈ 8000•√2 м/с, или v ≈ 11,2 км/с [19, с. 57]. Выводы по главе 2 Представленные методики решения физических задач на основе понятий математического анализа наглядно показывают прикладное значение таких понятий математического анализа, как дифференциал и определенный интеграл. Таким образом, знакомство с решением соответствующими методами различных физических задач способствует развитию у обучаемых правильных представлений о характере отражения с помощью понятий математического анализа основных понятий и законов физики, а также наглядно демонстрирует роль математического моделирования в научном познании. ЗАКЛЮЧЕНИЕ Умение применять дифференциальное и интегральное исчисление к решению физических задач имеет своей целью изучение школьного и вузовского курса физики на основе математического анализа и таких его основных понятий, как дифференциал и определенный интеграл. При этом было важно не столько показать теоретический материал, который можно почерпнуть и из учебника, сколько разобрать основные типы практических задач, показать способ их решения, дать графическое сопровождение задачи, что позволяет более точно представить объект исследования и быстро найти необходимый путь решения. В каждом выделенном блоке типовых задач приведено несколько заданий: от более простой к более сложной, поскольку такой набор задач удобен в применении. При этом графическое сопровождение задачи делает ее не только более наглядной и понятной при решении, но и более интересной, ведь достаточно часто оказывается трудным найти решение еще и потому, что нет четкого представления о том физическом явлении или процессе, с которым связано условие задачи. В процессе выполнения работы была достигнута поставленная цель – выявить и обосновать условия применения дифференциала и определенного интеграла для решения школьных и вузовских задач по физике, а также разработать методическое сопровождение, связанное с применением данных понятий при решении разного уровня задач. Решены сформулированные в начале исследования задачи: 1. Проанализирована психолого-педагогическая и методическая литература по теме исследования. 2. Приведены основные теоретические сведения о понятиях дифференциала и определенного интеграла, рассмотрены их свойства и область применения в рамках решения физических задач. 3. Рассмотрены основные методы решения задач по физике на основе понятий и свойств дифференциала и определенного интеграла. 4. Приведены примеры задач на применение данных понятий в школьном и вузовском курсе физике и даны методические рекомендации по их решению. В работе рассмотрены основные методы решения задач по физике на основе понятий и свойств дифференциала и определенного интеграла; приведены примеры задач на применение данных понятий в школьном и вузовском курсе физике, а также даны методические рекомендации по их решению, которые могут быть использованы в практике работы учителей физики и для самостоятельной работы учащихся. Приведенную в данной работе информацию можно рассматривать как методический материал, полезный для студентов в практическом применении дифференциала и интеграла в физических задачах. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Баврин И.И. Высшая математика: Учеб. для студ. высш. учеб. заведений. / И.И. Баврин, В.Л. Матросов. – М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 2003. – 400 с. 2. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа / Г.Н. Берман, И.Г. Араманович, А.Ф. Бермант и др. – М.: Наука, 1966. – 456 с. 3. Бермант А.Ф. Краткий курс математического анализа для втузов / А.Ф. Бермант, И.Г. Араманович. – М.: Наука, 1966. – 736 с. 4. Всероссийские олимпиады по физике. 1992–2004 / Под ред. С. М. Козела, В. П. Слободянина. – 2-е изд., доп. – М.: Вербум-М, 2005. – 534 с. 5. Гольдфарб Н.И. Физика. Задачник. 10–11 кл.: пособие для общеобразовательных учреждений / Н.И. Гольдфарб. – М.: Дрофа, 2006. – 398 с. 6. Григорьев Ю.М. Физика. Олимпиадные задачи по физике. Международная олимпиада «Туймада» / Ю.М. Григорьев, В.М. Муравьев, В.Ф. Потапов. – М.: МЦНМО, 2006. – 160 с. 7. Демидович Б.П. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов / Б.П. Демидович, Г.С. Бараненков, В.А. Ефименко и др. – М.: Наука, 1966. – 472 с. 8. Задачи по физике: Учебное пособие / Под ред. О. Я. Савченко. – 4-е изд., испр. – СПб.: Лань, 2001. – 368 с. 9. Кабардин О.Ф. Международные физические олимпиады школьников / О.Ф. Кабардин , В.А. Орлов; под. ред. В. Г. Разумовского. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1985. – 160 с. 10. Карнилович С.П. Физика. Методическое пособие для учителей-предметников / Под. ред. С.П. Карнилович. – М., 2012. – 157 с. 11. Кириллова Н.А. Разработки уроков: «Приложения определенного интеграла» / Н.А. Кириллова // Материалы междунар. фестиваля педагогических идей «Открытый урок» [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://festival.1september.ru/articles/100371/ (Дата обращения 25 апреля 2015г.). 12. Ковалев В.Ю. Методические рекомендации и сборник задач по физике для учащихся 7-х классов / В.Ю. Ковалев, Р.Н. Шилков. – Нижний Новгород: ЛИЦЕЙ 40, 2006. 69 с. 13. Куринной Г.Ч. Математика: Справочник / Г.Ч. Куринной. – Харьков: Фолио; Ростов на Дону: Феникс, 1997. – 463 с. 14. Лукашик В.И. Физическая олимпиада в 6–7 классах средней школы: Пособие для учащихся. – 2-е изд., перераб. и доп. / В.И. Лукашик. – М.: Просвещение, 1987. – 192 с. 15. Мартынов Н.Н. Matlab 5.х: вычисления, визуализация, программирование / Н.Н. Мартынов, А.П. Иванов. – М.: КУДИЦ-ОБРАЗ, 2000. – 336 с. 16. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов в 2 томах / Н.С. Пискунов. – М.: Наука, 1966. – 2 т. – 312 с. 17. Потемкина Л.О. Методические указания для практической аудиторной и самостоятельной работы студента по решению задач 2 семестр /Л.О. Потемкина, Н.Г. Леванова, А.П. Павлова. – Тольятти: ТГУ, 2007. – 68 с. 18. Физика. 10–11 кл.: Сборник задач и заданий с ответами и решениями. Пособие для учащихся общеобразоват. учреждений / С.М. Козел, В. А. Коровин, В.А. Орлов. – М.: Мнемозина, 2001. – 254 с. 19. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления / Г.М. Фихтенгольц. – М.: Государственное изд-во физико-математической литературы, 1959. – 465 с. 20. Шипачев В.С. Высшая математика. Учебник для вузов. – 4-е изд. стер. / Под ред. В.С. Шипачева. – М.: Высшая школа. 1998. – 479 с.