|
Содержание работы или список заданий
|
Задача Д1 (тема: “Динамика точки”)
Груз D массой т, получив в точке А начальную скорость , движется в изогнутой трубе АВС, расположенной в вертикальной плоскости; участки трубы или оба наклонные, или один горизонтальный, а другой наклонный (рис. Д1.0-Д1.9, табл. Д1). На участке АВ на груз кроме силы тяжести действуют постоянная сила (ее направление показано на рисунках) и сила сопротивления среды , зависящая от скорости груза (направлена против движения); трением груза о трубу на участке AB пренебречь.
В точке В груз, не изменяя значения своей скорости, переходит на участок ВС трубы, где на него кроме силы тяжести действуют сила трения (коэффициент трения груза о трубу f=0,2) и переменная сила , проекция которой Fx на ось х задана в таблице.
Считая груз материальной точкой и зная расстояние АВ = l или время t1 движения груза от точки А до точки В, найти закон движения груза на участке ВС, т.е. x = x(t), где х = BD.
Перед выполнением задания прочтите по учебнику тему: «Динамика материальной точки».
1. Сформулируйте основные законы динамики материальной точки (Галилея – Ньютона).
2. Запишите дифференциальные уравнения движения точки в векторной и координатной формах.
3. Повторите раздел кинематики: векторный и координатный способы задания движения точки.
4. Сформулируйте первую и вторую задачи динамики точки: постановка каждой задачи и ее решение.
Динамика точки (краткие сведения из теории)
Второй закон динамики точки в инерциальной системе отсчета:
, (1)
где m – масса точки, – абсолютное ускорение точки, – векторная сумма сил, действующих на точку (равнодействующая). Уравнение (1) – это дифференциальное уравнение движения точки в векторной форме. Спроектировав (1) на оси декартовой системы координат, получаем систему дифференциальных уравнений движения точки в координатной форме:
, , , (2)
где и т.д.
Первая задача динамики точки: заданы уравнения движения точки в координатной форме (см. задачу К1)
, , ; (3)
найти силу , действующую на точку. Решение: получив дифференциальные уравнения (2), дифференцируем заданные функции (3), подставляем в (2), находим , , и .
Вторая задача динамики точки (основная): задана сила , действующая на точку; найти кинематические уравнения движения (3) точки. Решение: составив уравнение (1) и спроектировав его на оси, получим уравнения (2). Добавив начальные условия (при ) , , , , , проинтегрируем (2) и найдем (3).
Таблица Д1
Номер условия
m, кг , м/с
Q, H R, H l, м t1, с Fx, H
2 4,5 24 9 0,5V - 3 3sin(2t)
Указания. Задача Д1 – на составление и интегрирование дифференциальных уравнений движения точки (решение первой и второй задач динамики точки). Решение задачи разбивается на две части. Сначала нужно составить векторное уравнение движения точки (груза) на участке AB, спроектировать это уравнение на координатную ось, направленную вдоль AB, и проинтегрировать полученное дифференциальное уравнение методом разделения переменных, учитывая начальные условия (вторая задача динамики точки). Затем, зная время движения на участке АВ или его длину, определить скорость груза в точке В. Эта скорость будет начальной для движения груза на участке ВС.
После этого нужно составить векторное уравнение движения точки (груза) на участке BC и спроектировать это уравнение на две координатные оси, направленные вдоль BC и перпендикулярно BC. Так как в первое полученное уравнение входит сила трения , то нужно сначала найти нормальную реакцию N из второго уравнения (первая задача динамики точки). Затем нужно подставить найденное значение N в первое уравнение и проинтегрировать это уравнение с учетом начальных условий, ведя отсчет времени от момента, когда груз находится в точке В, и полагая, что в этот момент времени t = 0. При интегрировании уравнения движения на участке АВ в случае, когда задана длина l участка, целесообразно перейти в уравнении от переменных , t к переменным , х, учитывая, что
Задача Д3
(тема: “Теорема об изменении кинетического момента
системы относительно оси”)
Однородная горизонтальная платформа (круглая радиуса или прямоугольная со сторонами и , где R=1,2 м) массой кг вращается с угловой скоростью с-1 вокруг вертикальной оси , отстоящей от центра масс платформы на расстояние (рис. Д3.0-Д3.9, табл. Д3); размеры для всех прямоугольных платформ показаны на рис. Д3.0а (вид сверху).
В момент времени по желобу платформы начинает двигаться (под действием внутренних сил) груз массой кг по закону , где s выражено в метрах, а – в секундах. Одновременно на платформу начинает действовать пара сил с моментом (задан в Ньютоно-метрах; при его направление противоположно показанному на рисунке).
Определить, пренебрегая массой вала, зависимость , т.е. угловую скорость платформы, как функцию времени.
На всех рисунках груз D показан в положении, при котором (когда , груз находится по другую сторону от точки ). Изображая чертеж решаемой задачи, провести ось на заданном расстоянии от центра .
Перед выполнением задания прочтите по учебнику тему: «Теорема об изменении кинетического момента системы». Ответьте на вопросы:
1. Вычисление моментов количества движения материальной точки относительно неподвижного центра и неподвижной оси.
2. Определения: кинетический момент механической системы относительно неподвижного центра и неподвижной оси.
3. Сформулируйте теоремы об изменении кинетических моментов механической системы относительно неподвижного центра и неподвижной оси, запишите соответствующие уравнения.
4. Чему равен кинетический момент вращающегося твердого тела относительно оси вращения?
5. Что такое момент инерции твердого тела относительно оси? Что такое радиус инерции?
6. Сформулируйте теорему о моментах инерции относительно параллельных осей.
7. Запишите дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси.
Таблица Д3
Номер условия , м
, м
М, Нм
2 R – 0,8 t 2 – 6
Задача Д4
(тема: “Теорема об изменении кинетической энергии системы”)
Механическая система состоит из грузов 1 и 2, ступенчатого шкива 3 с радиусами ступеней R3 = 0,3 м, r3 = 0,1 м и радиусом инерции относительно оси вращения м, блока 4 радиуса R4 = 0,2 м и катка (или подвижного блока) 5 (рис. Д4.0-Д4.9, табл. Д4); тело 5 считать сплошным однородным цилиндром (диском), массу блока 4 – равномерно распределенной по ободу. Коэффициент трения грузов о плоскость f = 0,1. Тела системы соединены друг с другом нерастяжимыми нитями, перекинутыми через блоки и намотанными на шкив 3 (или на шкив и каток); участки нитей параллельны соответствующим плоскостям. К одному из тел прикреплена пружина с коэффициентом жесткости с. Массами пружины и нитей пренебречь.
Под действием силы , зависящей от перемещения s точки приложения силы, система приходит в движение из состояния покоя; деформация пружины в момент начала движения равна нулю. При движении системы на шкив 3 действует постоянный момент M сил сопротивления (от трения в подшипниках).
Определить значение искомой величины в тот момент времени, когда перемещение s точки приложения силы станет равным м. Искомая величина указана в столбце "Найти" таблицы, где обозначено: , , – скорости грузов 1, 2 и центра масс тела 5 соответственно, и – угловые скорости тел 3 и 4.
Все катки, считая и катки, обмотанные нитями (как, например, каток 5 на рис. 2), катятся по плоскостям без скольжения.
На всех рисунках не изображать груз 2, если ; остальные тела должны изображаться и тогда, когда их масса равна нулю.
Перед выполнением задания прочтите по учебнику тему: «Теорема об изменении кинетической энергии системы».
Ответьте на вопросы:
1. Что такое кинетическая энергия точки и системы?
2. Формулы для вычисления кинетической энергии твердого тела при поступательном, вращательном и плоском движениях.
3. Формулы для вычисления работы силы на бесконечно малом перемещении точки приложения силы (элементарная работа силы; различные формы записи).
4. В каких случаях работа силы равна нулю? Поясните, используя любую формулу для вычисления элементарной работы силы.
5. Вычисление работы силы на конечном перемещении точки приложения силы или за конечное время (полная работа).
6. Формулы для вычисления работы:
а) силы тяжести,
б) упругой силы,
в) пары сил (момента).
7. Сформулируйте теорему об изменении кинетической энергии системы в любой форме и запишите соответствующее уравнение.
Задача Д6
(тема: “Принцип Даламбера для механической системы”)
Вертикальный вал (рис. Д6.0-Д6.9, табл. Д6), вращается с постоянной угловой скоростью с-1. Вал имеет две опоры: подпятник в точке А и цилиндрический подшипник в точке, указанной в табл. Д6 ( ). К валу жестко прикреплены невесомый стержень 1 длиной м с точечной массой кг на конце и однородный стержень 2 длиной м, имеющий массу кг; оба стержня лежат в одной плоскости. Точки крепления стержней к валу и углы α и β указаны в таблице. Пренебрегая весом вала, определить реакции подпятника и подшипника. При окончательных подсчетах принять м.
Перед выполнением задания прочтите по учебнику тему: «Принцип Даламбера». Ответьте на вопросы:
1. Сформулируйте принцип Даламбера для точки.
2. Как определяется модуль и направление силы инерции для точки? В каких случаях сила инерции равна нулю?
3. Сформулируйте принцип Даламбера для системы.
4. Чему равны главный вектор и главный момент сил инерции системы?
5. Запишите уравнения равновесия произвольной системы сил и плоской системы сил в координатной форме (вспомнив соответствующие уравнения статики).
|