|
Содержание работы или список заданий
|
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
(Последние цифры зачетной книжки 78, m=2, n=2)
1. Частные производные и дифференциал функции нескольких переменных
1.1. Найти частные производные функций:
а) ;
б) .
2. Приложения частных производных
2.1. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .
2.2. Для функции в точке найти градиент и производную по направлению . 2.3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области, заданной неравенствами: 3. Решить задачу межотраслевого баланса (МОБ)
Задана матрица коэффициентов прямых затрат aij, которая определяет взаимосвязи между тремя отраслями промышленности (I, II и III):
,
Задан также вектор объемов конечной продукции Y:
.
Требуется:
Составить и решить систему уравнений МОБ, то есть найти:
1) коэффициенты полных затрат bij,
2) объемы валовой продукции каждой отрасли xi, обеспечивающие потребности всех отраслей и изготовление конечной продукции Y. (Расчеты рекомендуется производить с точностью до трех знаков после запятой).
3) Составить матрицу межотраслевых потоков средств производства xij.
4) Определить объемы условно-чистой продукции каждой отрасли zj.
5) Составить таблицу МОБ, т.е. результаты расчетов оформить в виде таблицы МОБ:
6) Составить матрицу коэффициентов косвенных затрат С = (сij) = B – A – E.
7) Определить изменение плана ΔX, которое потребуется при увеличении выпуска конечной продукции 1-й отрасли на 10•n единиц, 2-й – на 5•m единиц и 3-й – на 5 единиц.
4. Решить задачу линейного программирования (ЗЛП)
Предприятие планирует выпуск двух видов продукции I и II, на производство которых расходуется три вида сырья А, В и С.
Необходимо изготовить в сумме не менее n единиц обоих видов продукции.
Потребность i-го вида сырья для производства каждой единицы j-го вида продукции (ресурсные коэффициенты - нормы расхода сырья для производства продукции) aij, запас соответствующего вида сырья bi и прибыль от реализации единицы j-го вида продукции (единичная прибыль) cj заданы таблицей:
Виды сырья
Виды продукции Запасы сырья
I II
A a11 = n a12 = 2 b1 = mn + 5n
B a21 = 1 a22 = 1 b2 = m + n + 3
C a31 = 2 a32 = m + 1 b3 = mn + 4m + n + 4
прибыль c1 = m + 2 c2 = n + 2
план (ед.) x1 x2
Требуется:
1. Для производства двух видов продукции I и II с планом x1 и x2 единиц составить математическую модель, т.е. целевую функцию прибыли F и соответствующую систему ограничений по запасам сырья.
2. Используя геометрический метод, построить по полученной системе ограничений многоугольник допустимых решений и найти оптимальный план X*=(x1, x2) производства продукции, обеспечивающий максимальную прибыль Fmax.
3. Данную задачу нахождения оптимального плана и максимальной прибыли решить симплекс-методом. Определить остатки каждого вида сырья (т.е. найти значения дополнительных переменных).
4. Составить математическую модель двойственной задачи (систему ограничений по единичной прибыли и целевую функцию общих издержек на сырье Z); найти оптимальный набор цен на сырьё Y*=(y1, y2, y3), обеспечивающий минимум общих затрат на сырье Zmin.
5. Провести анализ первоначальных и дополнительных переменных исходной и двойственной задач, сделать выводы.
5. Решить транспортную задачу
На трех складах А1, А2 и А3 хранится а1=100, а2=200, а3=60+10n единиц одного и того же груза, соответственно. Этот груз требуется доставить трем потребителям В1, В2 и В3, заказы которых b1=190, b2=120, b3=10m единиц груза, соответственно. Стоимости перевозок cij единицы груза с i-го склада j-му потребителю указаны в соответствующих клетках транспортной таблицы:
Потребности
Запасы В1 В2 В3
b1=190 b2=120 b3=10m
А1 а1 = 100 4 2 m
А2 а2 = 200 n 5 3
А3 а3 = 60 + 10n 1 m + 1 6
1. Сравнивая суммарный запас и суммарную потребность в грузе, установить, является ли модель транспортной задачи открытой или закрытой. Если модель открытая, то ее необходимо закрыть, добавив фиктивный склад А4 с запасом а4=b-а в случае аb и положив соответствующие им тарифы перевозок нулевыми.
2. Составить первоначальный план перевозок методом северо-западного угла и методом наименьшей стоимости.
3. Методом потенциалов проверить первоначальный план перевозок на оптимальность в смысле суммарной стоимости перевозок, и если это не так, то составить оптимальный план
,
обеспечивающий минимальную стоимость перевозок Zmin. Найти эту стоимость.
|