Контрольная работа по предмету Технология машиностроения на тему: Практические по оптимизации режимов обработки. Первая буква фамилии П, имени А.

Проверяемое задание 1. Оптимизация выбора материалов при резании
Тема 3. Оптимизация выбора материалов при резании
Задание: подобрать марку материала инструмента и допустимые аналоги, обосновать выбор.
Цель: ознакомиться с инструментальными материалами, применяемыми в машиностроении, методикой их выбора для конкретной детали и заданных условий ее обработки.
На рис. 1.1 приведены марки инструментальных материалов и области их применения.


Рис. 1.1. Марки инструментальных материалов и области их применения
Алгоритм выполнения работы
1. Выбрать задание. Номер варианта в первой части таблицы – номер чертежа детали; номер варианта во второй части таблицы – номер марки материала детали (табл. 1.1.)
2. Ознакомиться с теоретической частью.
3. Заполнить бланк выполнения задания, внеся в него следующие сведения: тип детали (определить по чертежу), методы обработки ее поверхностей.
При заполнении бланка используем рекомендации, изложенные на рис. 1.1.
Таблица 1.1
Выбор варианта для чертежа детали Первая цифра Первая буква в фамилии Пример: Жуков Иван – первая буква в фамилии соответствует первой цифре 6, а первая буква в имени соответствует второй цифре 8.
Вариант 6 – для выбора чертежа, вариант 8 – для выбора материала (табл. 1.2).

10 А, Л, Х 1 Б, М, Ц 2 В, Н, Ч 3 Г, О, Ш 4 Д, П, Щ 5 Е, Р, Э 6 Ж, С, Ю 7 З, Т, Я 8 И, У 9 К, Ф Вторая цифра Первая буква в имени 10 А, Л, Х 1 Б, М, Ц 2 В, Н, Ч 3 Г, О, Ш 4 Д, П, Щ 5 Е, Р, Э 6 Ж, С, Ю 7 З, Т, Я 8 И, У 9 К, Ф
Варианты заданий
Вариант 1


Вариант 2


Вариант 3

Вариант 4


Вариант 5

Вариант 6


Вариант 7

Вариант 8


Вариант 9


Вариант 10


Таблица исходных данных
№ варианта детали № варианта марки материала Марка материала детали 1 1 Сталь 40Х
2 2 Сталь 35ХМЛ
3 3 Сплав ХН70ВМЮТ
4 4 Сталь 60С2ХА
5 5 Чугун СЧ20
6 6 Сплав АК4М4
7 7 Сплав АД35
8 8 Сталь 35ХМЛ
9 9 Сплав ХН70ВМЮТ
10 10 Сталь 60С2ХА


Бланк выполнения задания 1
Проверяемое задание 1. Выбор материала инструмента для заданных условий работы
Выбор материала инструмента №
варианта, марка материала детали Тип поверхности Способ обработки Марка
инструментального
материала
(основной) Допустимые
аналоги основного
материала
Проверяемое задание 2. Оптимизация режимов обработки
Тема 5. Оптимизация одно- и многоинструментной обработки
Задание: провести оптимизацию режимов резания для заданных условий обработки.
Цель: ознакомиться с методикой параметрической оптимизации режимов резания.
Исходные данные
Для выбора двузначного номера варианта первого задания курсовой работы предлагается воспользоваться табл. 2.1. Эскизы деталей представлены на рис. 2.1.
Пример выполнения оптимизации дан в разделе 1.4 теоретического материала.
Таблица 2.1
Выбор варианта для первого задания № детали Первая буква в фамилии Пример: Жуков Иван. Первая буква в фамилии соответствует варианту а, а первая буква в имени означает вторую цифру 8. Варианты а, 8.

а А, Г, Ж, К, Н, Р, У, Ц, Щ, Я б Б, Д, З, Л, О, С, Ф, Ч, Э в В, Е, И, М, П, Т, Х, Ш, Ю Вторая цифра Первая буква в имени 0 А, Л, Х 1 Б, М, Ц 2 В, Н, Ч 3 Г, О, Ш 4 Д, П, Щ 5 Е, Р, Э 6 Ж, С, Ю 7 З, Т, Я 8 И, У 9 К, Ф


Рис. 2.1. Эскизы деталей
Таблица 2.2
Исходные данные к заданию Предпоследняя цифра 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Материал детали Сталь 45 СЧ15 Ст40Х ВЧ50 АЛ–9 Сталь У12 Сталь 45 БрАЖ
9 Сталь 20 Сталь19ХН Глубина резания 1 1 0,5 0,5 1,5 1,5 2 2 2,5 2,5 Твердость HRC 18 20 49 25 5 60 35 10 16 50 Размеры детали, мм L 40 50 60 80 120 150 200 140 250 350 e 20 30 20 40 30 100 90 70 200 200 d 30 25 35 50 65 55 40 45 60 70 d1 40 35 45 60 70 75 50 55 65 80 D 30 20 35 40 50 60 35 45 40 55 h 50 60 70 45 30 75 80 65 15 20 h1 70 80 90 60 55 100 150 100 170 200 b 20 30 40 50 60 70 100 90 200 50 ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ
ОПТИМИЗАЦИЯ РЕЖИМОВ РЕЗАНИЯ
Этапы оптимизации технологической операции выполняются в следующей последовательности:
Подготовить исходные данные (параметры станка: кинематические, по точности и жесткости; параметры заготовки: размеры, материал со всеми свойствами; схема установки заготовки; параметры инструмента: материал, размеры, геометрия режущей части; глубина резания).
Выбрать критерий оптимизации и сформировать целевую функцию.
Выписать все ограничения. Определить коэффициенты.
Составить систему неравенств в линейной форме путем логарифмирования уравнений ограничений.
Определить область допустимых решений, построив многоугольник решений.
Определить оптимальную точку: найти координаты пересечения граничных прямых и определить, в какой точке целевая функция принимает максимальное значение.

1.1. Уравнения ограничений

Нахождение оптимального режима резания заготовки на различных металлорежущих станках заключается в том, чтобы определить скорость резания и подачу, которые обеспечили бы получение детали в соответствии с заданными техническими условиями при минимальных затратах. Решается эта задача с учетом свойств заготовки, режущих инструментов, процессов их взаимодействия в процессе резания, характеристик станка, на котором производится обработка, а также свойств технологической системы, включая оснастку. При решении двух параметрических задач глубина резания принимается заданной. Определяется предварительно аналитическим методом или таблично. Каждый технологический проход рассчитывается отдельно.
Технологические методы механической обработки деталей резанием характеризуется следующими величинами:
параметры – величины, которые определяют значения элементов процесса резания;
показатели – различные коэффициенты, которые определяют количественные характеристики процесса. Они зависят от принятых значений параметров.
Параметрами считаются: характеристики заготовки, характеристики станка, характеристики инструмента, характеристики приспособления. Между параметрами существуют геометрические и кинематические связи. Примером геометрической связи может служить формула для определения длины рабочего хода инструмента при поперечном точении:

, (2.1)

где dн – начальный диаметр обработки, в мм;
dк – конечный диаметр обработки, в мм.
Примером кинематической связи является формула определения основного технологического или машинного времени. Она представляет связь между параметрами относительного движения инструмента и заготовки и размерами обрабатываемой детали:

, (2.2)

где n – число оборотов в минуту, об/мин;
s – подача, мм/об.
При расчетах принимают следующие показатели технологических операций:
технические – характеризуют состояние станка, режущего инструмента и заготовки в процессе резания. К ним относят прочность отдельных элементов станка, приспособлений, инструмента, величину упругих деформаций элементов технологической системы;
технологические характеристики детали после обработки, к ним относят точность размеров, расположения и формы детали, шероховатость поверхности;
организационно-производственные – обусловлены заданным тактом поточной линии, производительностью станка;
экономические – определяют себестоимость изготовления детали.
Функциональная связь между показателями технологической операции и параметрами является техническим ограничением режима резания. В совокупности они представляют математическую модель для определения оптимального режима резания. Часть технических ограничений снижает эффективность процесса резания. Их надо устранять внедрением разных конструктивных, технологических и организационно-производственных мер. К таким мерам могут относиться повышение жесткости и прочности различных узлов станка, приспособления, кинематическое расширение диапазона оборотов шпинделя или подач станка. Можно уменьшить припуск на обработку путем совершенствования заготовительной технологии, а также изменить конструкцию или геометрию режущих инструментов, применить эффективное охлаждение, выполнить перепланировку участка для более удобного обслуживания станков.
При определении режимов резания самыми важными ограничениями являются:
– наименьшая подача по кинематике станка;
– наибольшая подача по кинематике станка;
– наименьшая скорость резания по кинематике станка, или минимальные обороты шпинделя;
– наибольшая технологически допускаемая скорость резания;
– наибольшая скорость резания по кинематике станка, или максимальные обороты шпинделя;
– режущие параметры инструмента;
– мощность привода главного движения;
– заданная производительность оборудования на проектируемой операции;
– прочность и жесткость режущего инструмента;
– точность обработки;
– прочность механизмов подачи станка;
– наибольшая подача, допускаемая требованиями по шероховатости обработанной поверхности.
Кроме выше перечисленных ограничений, на выбор режимов резания могут влиять другие ограничения. Это может быть жесткость элементов станка, приспособлений, нагрев заготовки и инструмента, вибрации при резании, усилия закрепления заготовки.
Ниже рассматриваются подробно основные технические ограничения, которые влияют на режим резания.
Ограничение 1. Оно устанавливает связь между скоростью резания, которая задается по стойкости инструмента, инструментальным материалом, геометрией режущей части инструмента, подачей, глубиной резания, физико-механическими свойствами материала заготовки, с одной стороны, и скоростью резания, задаваемой кинематикой станка, с другой стороны.
Скорость резания для разных видов обработки находится по формуле:

, (2.3)

где Сv – постоянный коэффициент нормативных условий обработки;
d – диаметр обрабатываемой поверхности (или инструмента), мм;
Kv – общий поправочный коэффициент на скорость резания, который учитывает условия обработки, отличающиеся по сравнению с нормативными;
Тн – принятая стойкость режущего инструмента, мин;
m – параметр относительной стойкости;
tусл – глубина резания, мм;
s – подача, мм/об (мм/зуб, мм/дв. ход, мм/мин);
z – число зубьев режущего инструмента;
В – ширина фрезерования или шлифования, мм;
хv, yv, zv, uv, rv – показатели степеней при tyсл, s, d, z, В.
Специфика отдельных видов резания учитывается изме¬нением значения tyсл, показателей степеней у переменных и значений коэффициентов Сv и Kv. В табл. 2.3 приведены значения tycл (в таблице следующие обозначения: i – число проходов; m – модуль) и показателей степеней хv, yv, zv, uv, rv, обеспечивающих на основе формулы (2.3) получение формулы для определения скорости при любом виде обработки на металлорежущих станках.

Таблица 2.3
Значения tycл и показателей степени хv, yv, zv, uv, rv Вид обработки tусл xv yv zv uv rv Продольное наружное точение, расточка и подрезка торца t xv yv 0 0 0 Отрезка, прорезка и фасонное точение 1 0 yv 0 0 0 Нарезание резьбы резцами i xv yv 0 0 0 Сверление 1 0 yv zv 0 0 Рассверливание, зенкерование и развертывание t xv yv zv 0 0 Нарезание резьбы метчиками, плашками и самооткрывающимися головками 1 0 yv zv 0 0 Фрезерование торцовыми и цилиндрическими фрезами t xv yv zv uv rv Зубофрезерование и шлицефрезерование m xv yv zv 0 0 Шлифование периферией круга t xv yv zv 0 0 Шлифование торцом круга t xv 0 0 0 rv Бесцентровое шлифование t xv yv zv 0 0 Строгание t xv yv 0 0 0 Долбление t xv yv 0 0 0
Например, приняв в формуле (2.3) tycл = 1, a xv, zv, uv, rv равными нулю, получим формулу для определения скорости резания для переходов отрезка, прорезки и фасонного точения. При фрезеровании торцовыми и цилиндрическими фрезами в формуле (2.3) s – подача на 1 зуб фрезы, В – ширина фрезерования. При наружном, внутреннем и плоском шлифовании периферией круга s – подача в долях ширины круга на один оборот детали. При шлифовании торцом круга В – приведенная (сплошная) ширина шлифования. Элементы общего поправочного коэф-фициента Кv, который учитывает влияние разных факторов на скорость резания, приведены в табл. 2.4. Скорость резания находится по формуле:

. (2.4)
Таблица 2.4
Элементы общего поправочного коэффициента на скорость резания Факторы, влияние которых учитывается коэффициентом Обозначение коэффициента Вид обработки Точение Сверление Рассверливание, зенкерование, развертывание Нарезание резьбы Шлифование Механические свойства обрабатываемого материала + + + + + Состояние материала заготовки + + + + + Состояние обрабатываемой поверхности + – + – + Вид обработки + – – + + Материал режущей части инструмента + + + + + Главный угол в плане + – – – – Вспомогательный угол в плане + – – – – Форма заточки сверла или форма передней грани резца + + – – – Радиус при вершине резца или зуба фрезы + – – – – Поперечное сечение державки резца + – – – – Длина обработки – + – – – Состояние оборудования + + + + + Наличие охлаждения + + + + +
Приравняв правые части формул (2.3) и (2.4) и выделив в левой части искомые элементы режима резания, получаем формулу для технического ограничения 1:

. (2.5)

Ограничение 2. Оно устанавливает связь между эффективной мощностью резания и мощностью привода главного движения станка.
Эффективная мощность резания для разных видов обработки находится по формуле:
, (2.6)

где Сz – постоянный коэффициент, который характеризует условия резания;
Вк – ширина шлифовального круга, мм;
Кz – общий поправочный коэффициент мощности, который учитывает конкретные условия резания в сравнении с нормативными;
– коэффициент для приведения формулы (2.6) к общему виду;
xv, zv, uv, rv, qv – показатели степеней, соответственно, при tycл, s, d, n, z, В и Вк.
Формула определения эффективной мощности, затрачиваемой на процесс резания, для любого из видов обработки, приведенных в первой графе табл. 2.3, может быть получена подстановкой в формулу (2.6) соответствующих значений из той же таблицы 2.3.
Например, подставив в формулу (2.6) tycл = i, zz и nz, равные единице, uz, rz и qz, равные нулю, и = 106, получаем формулу для определения эффективной мощности нарезания резьбы.
Мощность резания не должна быть больше, чем мощность электродвигателя главного привода станка с учетом коэффициента полезного действия кинематической цепи из-за потерь на трение:

Nэф  Nн, (2.7)

где Nн – мощность двигателя главного привода станка, кВт;
 – коэффициент полезного действия кинематической цепи.
Подставив в выражение (1.7) значение Nэф из формулы (2.6), и решая его относительно искомых элементов режима обработки n и s, получаем выражение для ограничения 2:
. (2.8)
Таблица 2.5
Значения tусл и показателей степени xz, yz, zz, nz, uz, rz, qz Метод обработки xz yz zz nz uz rz qz tусл Точение xz yz zz+1 nz+1 0 0 0 t Сверление 0 yz zz 1 0 0 0 3060 1 Рассверливание, зенкерование, развертывание xz yz zz 1 0 0 0 3060 t Нарезание резьбы xz yz 1 1 0 0 0 106 i Фрезерование xz yz zz nz uz rz 0  ∙ 105 t Зубофрезерование xz yz zz+1 1 0 0 0 106 m Шлицефрезерование xz yz zz+1 1 0 0 0 108 1 Зубодолбление xz yz 1 1 uz 0 0 107 m Шлифование xz yz zz 1 0 0 qz 103 t
Ограничение 3. Оно устанавливает связь расчетной скорости резания по кинематике станка по минимуму. Т. е. скорость резания через обороты не может быть назначена меньше, чем наименьшее число оборотов станка. Это условие в виде неравенства:

n  nст min . (2.9)

Ограничение 4. Оно устанавливает связь расчетной скорости резания с наибольшей технологически допустимой скоростью резания.
Для многих способов обработки скорость резания не может превышать некоторого значения, которое устанавливается на основе экспериментов, которые учитывают конкретные условия резания. Например, при развертывании отверстий по 7 квалитету точности с обеспечением шероховатости поверхности не ниже Ra 2,5 мкм развертками из стали Р18 скорость резания не должна превышать 2–3 м/мин.
При нарезании крепежной резьбы по 5 классу точности и точной трапецеидальной резьбы выполняются зачистные проходы со скоростью резания 4 м/мин.
Чистовое фрезерование зубьев по прорезанному зубу однозаходными червячными модульными фрезами на заготовках из серого чугуна с обеспечением шероховатости поверхности не ниже Ra 2,5 мкм должно производиться со скоростью резания 20–22 м/мин.
Нарезание резьбы метчиками и круглыми плашками рекомендуется производить на небольших скоростях резания, пре¬вышение которых приводит к разрушению и срыву резьбовых ниток.
Развертывание конических отверстий в углеродистой конструкционной стали необходимо выполнять со скоростью 4–6 м/мин и т. д.
Неравенство, соответствующее такого рода ограничениям, имеет вид

, (2.10)

где v_техн – допустимая технологически скорость резания, м/мин.
Ограничение 5. Оно устанавливает связь расчетной скорости резания по кинематике ставка по максимуму. Она не может быть назначена больше возможной, которая задается максимальным числом оборотов шпинделя станка:

n 〖 n〗_(ст max) . (2.11)

Ограничение 6. Оно устанавливает связь определяемой подачи с минимальной подачей, которая допускается кинематикой станка. Расчетная подача не может быть меньше минимальной, которая допустима на станке:

s  scm min . (2.12)

Ограничение 7. Оно устанавливает связь определяемой подачи с максимальной подачей, которая допускается кинематикой станка.
Расчетная подача не может быть больше максимальной, которая допустима на станке:
s scm max. (2.13)

1.2. Целевые функции

Для оптимального выбора режима резания необходимо правильно выбирать критерии оптимальности. Это показатели, на основании которых оценивают принятое решение. К таким показателям относятся максимальная произ¬водительность, минимальные себестоимость и затраты энергии.
При назначении режимов резания и нормировании времени операции самым полным критерием оптимальности считается технологическая себестоимость. В нее входят затраты, непосредственно связанные с выполнением технологической операции, а также затраты труда, которые учитываются амортиза¬цией основных средств производства.
За целевую функцию принимается уравнение основного времени на единицу длины пути резания:

. (2.14)

Неравенства (2.5), (2.8) – (2.13) и уравнение целевой функции (2.14) вместе являются математической моделью оптимального режима резания.
Из уравнения целевой функции (2.14) видно, что она будет минимальной, когда произведение n ∙ s будет максимальным. Задача в том, что нужно найти такие обороты шпинделя n и значение подачи s, которые отвечали бы всем техническим ограничениям, и при этом это произведение было бы наибольшим.
1.3. Графическое решение задачи оптимизации режима резания

На основе неравенств, характеризующих технические ограничения процесса резания металлов, и уравнения целевой функции находится оптимальный режим резания.
Задача
По исходным данным находятся элементы режима обработки: обороты шпинделя и величина подачи (на оборот, на зуб фрезы, на ход, минутная подача), при которых критерий оптимальности был бы минимальным или максимальным, в зависимости от его вида.
Для решения такой задачи применяется метод линейного про-граммирования.
Постановка задачи
Есть некоторый параметр, являющийся линейной функцией нескольких переменных. Эти переменные удовлетворяют ограничениям в виде системы неравенств. Нужно отыскать неотрицательные значения переменных, которые удовлетворяли бы системе ограничений. При этом параметр, являющийся их линейной функцией, принимал бы минимум или максимум.
Для решения задачи с помощью метода линейного программирования уравнение целевой функции и все неравенства технических ограничений преобразуют в линейную форму.
Пример этой методики преобразования в линейную форму приведем на примере неравенства (2.5).
Логарифмируем неравенство (2.5):

. (2.15)

Обозначаем:

, (2.16)
(2.17)

и подставляем их в (2.15). Получаем линейную форму выражения (2.5) вида:

.

Преобразуем аналогично все неравенства технических ограничений (2.8) – (2.13) и уравнение целевой функции (2.14). Получается система линейных неравенств и линейная функция, подлежащая оптимизации:

. (2.25)

Данная математическая модель представляет собой общую модель процесса обработки металлов на станках различных типов. Специфика каждого из видов и условий обработки учитывается свободными членами b1, b2, ..., b13 и коэффициентами nу, nz, nр, nr, ns, yv, yx, yy, yz, yp, yr, yz.
Под оптимальными режимами резания понимают такие режимы, которые обеспечивают заданную производительность с минимальными затратами с учетом всех заданных технических ограничений.
Математическая модель процесса резания может быть в графическом виде. Каждому из неравенств с (2.18) по (2.24) системы А и целевой функции (2.25) на плоскости со¬ответствуют прямые линии, расположенные параллельно одной из координатных осей или же под любым углом к ним (рис. 2.2).
Прямая каждого из неравенств системы А делит плоскость на две полуплоскости. По одну сторону от прямой находятся значения, удовлетворяющие неравенству, а по другую – не удовлетворяющие. Точки на самой прямой удовлетворяют уравнению. На рис. 2.2 у каждой прямой стрелкой показывается направление решений, которые удовлетворяют неравенствам. Все граничные прямые, пересекаясь между собой, формируют многоугольник.
Точки плоскости внутри многоуголь¬ника удовлетворяют неравенствам всех граничных прямых, участвующих в его формировании. Поэтому он называется многоугольником допустимых решений. Он является выпуклым. Для такого многоуголь¬ника можно построить множество прямых, каждая из которых будет иметь, по крайней мере, одну общую точку с многоугольником и весь многоугольник будет находиться по одну сторону от такой прямой.

Рис. 2.2. Графическое представление системы полной системы А (со всеми ограничениями) и функции (2.25)

Прямые, которые отвечают этим требованиям, называются опорными прямыми. На рис. 2.2 прямые функций fmax и fmin являются опорными.
Опорная прямая может иметь с выпуклым многоугольником общую часть, состоящую или из одной точки, или из отрезка прямой. В последнем случае опорная прямая параллельна одной из сторон многоугольника.
Из всех возможных точек пересечения граничных прямых выделяются точки, которые являются вершинами многоугольника. Для определения многоугольника решений, необходимо найти координаты его вершин. Для этого решаются попарно уравнения граничных прямых и находятся точки пересечения этих прямых. Для этого подставляем координаты всех возможных точек пересечения граничных прямых в неравенства рассматриваемой системы. Точки, координаты которых удовлетворяют всем без исключения неравенствам рассматриваемой системы, являются вершинами многоугольника решений.
Линейную функцию максимизирует только та точка, сумма координат которой х1 + х2 максимальна. Определяем сумму координат х1 + х2 точек вершин многоугольника решений и нахо¬дим точку, сумма координат которой является наибольшей. Координаты этой точки являются оптимальным решением задачи – точка С (рис. 2.2). Такой же результат получают графически. На рис. 2.2 прямая целевой функции (2.25) перпендикулярна вектору М, задающему направление минимизации этой функции.
Направление вектора М указывает возрастание линейной формы целевой функции. На опорной прямой, проходящей через вершину F, эта функция минимальная, а на опорной прямой, проходящей через вершину С – максимальная в области допустимых решений. Т. е. вершина С является точкой оптимума. Тогда координаты х1опт и х2опт являются оптимальным решением системы.
Если пересечение опорной прямой с областью допустимых решений состоит из бесчисленного множества точек, она совпадает со стороной многоугольника. В последнем случае для окончательного выбора решения используются дополнительные критерии. Например, за оптимальное решение принимаются координаты той точки, у которой координата x2oпт большая, так как скорость резания значительно больше влияет на стойкость инструмента, чем подача.
Найдя координаты х1опт и х2опт, находим оптимальные значения элементов режима резания по формулам:

, (2.26)
. (2.27)
Следует отметить, что графическое изображение граничных прямых на рис. 2.2 выбрано произвольным для лучшей иллюстрации метода. В конкретном примере они могут быть направлены совершенно по-другому.
Пример выполнения оптимизации
Исходные данные для оптимизации. Параметры заготовки: длина l=300 мм; диаметр d=25 мм.
Режимы резания: глубина резания t=2 мм.
Обрабатываемый материал: легированная сталь 40Х.
Параметры инструмента выбираются в процессе оптимизации.
Построение системы ограничений:
Ограничение 1
Для продольного наружного точения формула принимает вид:
ns^(y_v )≤(318〖∙C〗_v 〖∙K〗_v 〖∙d〗^(-1))/(Т_н^m 〖∙t〗_усл^(x_v ) ) ,
где коэффициенты принимают следующие значения:
C_v=340; K_v=K_мv∙K_пv∙K_иv=1∙0,4∙0,4=0,4; d=25 мм; Т_н=60 мин; m=0,2; t_усл=2 мм; x_v=0,15; y_v=0,45.
Отсюда следует, что ограничение примет вид:
ns^0,45≤687,45
ln⁡〖(n∙S^(y_v ) )=ln⁡〖n+y_v (ln⁡S )〗 〗=x_1+y_v∙x_2
ln⁡687,45=6,53
x_1+0,45∙x_2≤6,53.
Ограничение 2
Для продольного наружного точения формула принимает вид:
n^(n_z ) s^(y_z )≤(N_н∙η〖∙K〗_cz)/(C_z 〖∙t〗_усл^(x_z )∙d^(n_z+1)∙π^(n_z+1)∙K_z ),
где коэффициенты принимают следующие значения:
где N_н=11 кВт; η=0,95; K_cz=6120; C_z=300; t_усл=2 мм; d=25 мм; x_z=1; y_z=0,75; n_z=-0,15;
K_z=K_мp∙K_γp∙K_φp∙K_λp∙K_rp=1∙1,1∙1∙1∙1=1,1.
Отсюда следует, что ограничение примет вид:
n^0,85 s^0,75≤842,72;
〖0,85∙x〗_1+0,75∙x_2≤6,74.
Ограничение 3
Условие кинематического ограничения в виде неравенства:
n>n_(ст min) .

Согласно характеристикам станка 16К20:
n>12,5.
Отсюда следует, что ограничение примет вид:
x_1>2,53.
Ограничение 4
При точении не рассматривается.
Ограничение 5
Условие кинематического ограничения в виде неравенства:
n≤n_(ст max) .

Согласно характеристикам станка 16К20:
n≤1600.
Отсюда следует, что ограничение примет вид:
x_1≤7,38.
Ограничение 6
Расчетная подача не может быть меньше минимальной, которая допустима на станке:
s≥s_(ст min) .
Согласно характеристикам станка 16К20, приняв масштабный коэффициент для подачи, равный 100, примем:
s≥5.
Отсюда следует, что ограничение примет вид:
x_1≥1,61.
Ограничение 7
Расчетная подача не может быть больше максимальной, которая допустима на станке:
s≤s_(ст max) .
Согласно характеристикам станка 16К20, приняв масштабный коэффициент для подачи, равный 100, примем:
s≤280.
Отсюда следует, что ограничение примет вид:
x_1≤5,63.
Теперь на основе всех имеющихся ограничений составляем систему уравнений:



{■(x_1+0,45∙x_2≤6,53@〖0,85∙x〗_1+0,75∙x_2≤6,74@■(■(x_1>2,53@x_1≤7,38)@x_2≥1,61@x_2≤5,63))┤
По уравнениям строится область допустимых значений (рис. 2.3).

Рис. 2.3. Графическое решение системы уравнений
Полученная область допустимых решений ограничена пятью точками, три из которых могут иметь наибольшую сумму координат. Чтобы выбрать наиболее оптимальную точку, найдем суммы координат каждой из трех:
1: {█(0,85 x_1+0,75x_2≤6,74@-0,15 x_1+0,75x_2≤2,75)┤
x_1=3,99;〖 x〗_2=4,46.
∑▒〖x_i=8,45.〗 2: {█(0,85 x_1+0,75x_2≤6,74@ x_1+0,45x_2≤6,53)┤
x_1=5,07;〖 x〗_2=3,24.
∑▒〖x_i=8,31.〗
3: {█( x_1+0,45x_2≤6,53@-0,15 x_1+0,75x_2≤0,9)┤
x_1=5,495;〖 x〗_2=5,114.
∑▒〖x_i=10,609〗.
Таким образом, третья точка является оптимальной. Найдем оптимальные значения числа оборотов и подачи:
n=e^5,495=243 об/мин;
S=e^5,114/100=1,66 мм/об.