|
Содержание работы или список заданий
|
Краткие теоретические сведения
Метод наименьших квадратов применяется для решения различных математических задач и основан на минимизации суммы квадратов отклонений функций от исходных переменных. Мы рассматриваем его приложение к математической статистике в простейшем случае, когда нужно найти зависимость (линейную регрессию) между двумя переменными, заданными выборочными данными. В этом случае речь идет об отклонениях теоретических значений от экспериментальных.
Краткая инструкция по методу наименьших квадратов: определяем вид предполагаемой зависимости (чаще всего берется линейная регрессия вида y(x) = ax + b), выписываем систему уравнений для нахождения параметров a, b. По экспериментальным данным проводим вычисления и подставляем значения в систему, решаем систему любым удобным методом. Получается искомое уравнение.
Иногда дополнительно к нахождению уравнения регрессии требуется: найти остаточную дисперсию, сделать прогноз значений, найти значение коэффициента корреляции, проверить качество аппроксимации и значимость модели.
Практическое задание 1
Тема «Уравнение регрессии. Метод наименьших квадратов»
Формулировка задания 1.1. Решить задачу, условие которой приводится далее. Значения постоянных величин для решения по вариантам сведены в табл. 1 и 2.
Рекомендации по выполнению задания приведены в разделе «Краткие теоретические сведения».
Методом наименьших квадратов для данных, представленных в табл. 1 и 2, найти линейную зависимость y = ax + b.
Таблица 1
Вариант y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8
1 15,23 10,42 7,12 3,10 –0,39 –4,19 –7,37 –11,14
2 13,72 9,39 6,41 2,79 –0,43 –4,65 –8,18 –12,37
3 12,59 8,61 5,88 2,56 –0,47 –5,07 –8,92 –13,48
4 9,66 4,85 1,55 –2,47 -5,96 –9,76 –12,94 –16,71
Таблица 2
i 1 2 3 4 5 6 7 8
xi 5 4 3 2 1 0 –1 –2
Образец выполнения задания.
Методом наименьших квадратов для данных, представленных в табл. 3, найти линейную зависимость y = ax + b.
Таблица 3
i 1 2 3 4 5 6 7 8
xi 5 4 3 2 1 0 –1 –2
yi 14,08 10,12 6,91 3,01 –0,41 –4,32 –7,59 –11,47
Параметры a и b можно найти методом наименьших квадратов, решив следующую систему уравнений:
{█(a∑▒〖x_i^2+b∑▒〖x_i=∑▒〖x_i y_i 〗〗〗@a∑▒〖x_i+bn=∑▒y_i 〗)},
где суммирование ведется по i от 1 до n, n = 8. Составим расчетную табл. 4.
Таблица 4
i 1 2 3 4 5 6 7 8 Сумма
xi 5 4 3 2 1 0 –1 –2 12
yi 14,08 10,12 6,91 3,01 –0,41 –4,32 –7,59 –11,47 10,33
x_i^2 25 16 9 4 1 0 1 4 60
xiyi 70,4 40,48 20,73 6,02 –0,41 0 7,59 22,94 167,75
Получаем следующую систему:
{█(60a+12b=167,75@12a+18b=10,33)},
откуда находим a = 625,3 , b = 146,4, то есть получаем функцию
y = 3,625x – 4,146.
Формулировка задания 1.2. Решить задачу, условие которой приводится далее. Значения постоянных величин для решения по вариантам сведены в табл. 5.
Рекомендации по выполнению задания приведены в разделе «Краткие теоретические сведения».
Прибыль фирмы за некоторый период деятельности по годам приведена в табл. 5.
Таблица 5
Вариант № 1 Год 1 2 3 4 5
Прибыль 3,5 4,5 3,0 1,0 1,5
Вариант № 2 Год 1 2 3 4 5
Прибыль 2,9 3,9 2,4 0,4 0,9
Вариант № 3 Год 1 2 3 4 5
Прибыль 2,5 3,4 2,2 1,5 0,7
Вариант № 4 Год 1 2 3 4 5
Прибыль 4,0 5,0 3,5 1,5 2,0
Составьте линейную зависимость прибыли по годам деятельности фирмы.
Определите ожидаемую прибыль для 6-го года деятельности. Сделайте график полученной функции и нанесите точки, обозначенные в исходных данных.
Образец выполнения задания.
Прибыль фирмы за некоторый период деятельности по годам приведена в табл. 6.
Таблица 6
Год 1 2 3 4 5
Прибыль 3,9 4,9 3,4 1,4 1,9
Обозначим прибыль за y, а год за x. Параметры a и b линейной зависимости y = at + b можно найти методом наименьших квадратов из следующей системы уравнений:
{█(a∑▒〖t_i^2+b∑▒〖t_i=∑▒〖t_i y_i 〗〗〗@a∑▒〖t_i+bn=∑▒y_i 〗)},
где суммирование ведется по i от 1 до 5. Составим расчетную табл. 7.
Таблица 7
Сумма
ti 1 2 3 4 5 15
yi 3,9 4,9 3,4 1,4 1,9 15,5
t_i^2 1 4 9 16 25 55
tiyi 3,9 9,8 10,2 5,6 9,5 39
Получаем следующую систему:
{█(55a+15b=39@15a+5b=15,5)}.
Отсюда находим, что a = –0,75, b = 5,35, то есть получаем функцию
y = –0,75t + 5,35.
Определим ожидаемую прибыль от 6-го года деятельности:
y(6)=-0,75•6+5,35 = 0,85.
Построим точки и линию y = –0,75t + 5,35 на одном графике (рисунок).
График функции y(t)
|