|
Содержание работы или список заданий
|
Задача 1 по теме “ Погрешности вычислений”.
Дана функция . Значения переменных указаны в варианте со всеми верными цифрами. Оценить погрешность результата, используя: a) оценки погрешностей для арифметических операций; b) общую формулу погрешностей.
Результат представить в двух формах записи: с явным указанием погрешностей и с учетом верных цифр.
№ №
1 0.0125 0.283 0.0187 16 4.41 18.5
2 14.29 13.81 10.98 17 16.5 4.2
3 12.28 13.21 12.19 18 52.31 48.95 47.81
4 0.328 0.781 0.0129 19 4.81 4.52 9.28
5 14.85 15.49 20 16.21 16.18 21.23
6 12.31 0.0352 10.82 21 121 0.324 1.25
7 12.45 11.98 22 25.18 24.98
8
3.456 0.642 7.12 23 3.1415 3.1411 10.91
9
1.245 0.121 2.34 24 3.14 1.57 0.0921
10 13.12 0.145 15.18 25 14.85 15.49
11
0.643 2.17 5.843 26 5.325 5.152 5.481
12
0.3575 2.63 0.854 27 71.4 4.82 49.5
13 14.91 0.485 14.18 28 4.356 4.32 0.246
14 16.5 4.12 0.198 29 3.42 5.124 0.221
15 5.21 14.9 0.295 30 0.5761 3.622 0.0685
Задача 1 по теме “Решение нелинейных уравнений”.
Методом бисекции найти решение нелинейного уравнения на отрезке с точностью . Выбрав полученное решение в качестве начального приближения, найти решение уравнения методом простой итерации с точностью . Для метода простой итерации обосновать сходимость и оценить достаточное для достижения заданной точности число итераций.
№ Уравнение № Уравнение
1
[3.5,4.5] 16
[0.5,0.8]
2 [-1.3,-0.7] 17
[0.5,1]
3 [1.8,2.2] 18
[0.3,1.3]
4 [2.7,2.9] 19
[0.5,1]
5
[0,0.6] 20 [1.8,2.3]
6
[1.5,2] 21
[1,1.5]
7
[2.6,3] 22
[0.7,1]
8
[1,1.5] 23
[1.5,2]
9
[0.5,0.7] 24
[3,3.3]
10
[-1,-0.5 ] 25
[1,1.5]
11
[0.3,0.8] 26
[2.5,3]
12
[0.5,1] 27
[1,1.5]
13
[1.4,2] 28
[-1,-0.5]
14 [1,2] 29
[1.5,2]
15 [0.2,1] 30
[1,1.5]
Задача 2 по теме “Решение нелинейных уравнений”.
Дан многочлен третьей степени: . Найти действительный корень многочлена, расположенный на интервале (-3,0), с точностью методом Ньютона. Оценить интервал неопределенности корня. Исследовать влияние погрешности в задании коэффициента на решение задачи: произвести теоретическую оценку погрешности и выполнить вычислительный эксперимент.
№ b c № b c № b c № b c № b c
1 -1 30 7 -7 24 13 -13 18 19 -19 12 25 -25 6
2 -2 29 8 -8 23 14 -14 17 20 -20 11 26 -26 5
3 -3 28 9 -9 22 15 -15 16 21 -21 10 27 -27 4
4 -4 27 10 -10 21 16 -16 15 22 -22 9 28 -28 3
5 -5 26 11 -11 20 17 -17 14 23 -23 8 29 -29 2
6 -6 25 12 -12 19 18 -18 13 24 -24 7 30 -31 1
Задача 1 по теме “ Решение систем линейных алгебраических уравнений”.
Выполнить 3 итерации по методу Зейделя для системы уравнений Aх=b.В качестве начального приближения взять указанный в варианте вектор .
Изобразить графически поведение итерационного процесса. Проанализиро-вать полученные результаты с точки зрения сходимости (расходимости) метода.
№
№
№
1 3 –1
-1 3 2
2 5
4 11 3 –6
-6 3 3
3 0
-2 21 5 –2
-2 5 -1.5
-1.5 -2
-2
2 0 -2
-2 1 -1
-1 3
-1 12
-2 2
-2 -2 0
4 -1
3 22 2 -3
-3 2 -2
-2 1
4
3 2 -0.5
-0.5 2 -1.5
-1.5 3
7 13 4 –1
-1 4 6
6 -2
-2 23 -1 1
-1 -1 0
-4 2
-2
4 0.5 -1
-1 0.5 1
1 0
-4 14 1 -2
-2 1 2
2 -3
-3 24 8 3
3 8 -22
-22 -4
2
5 1 2
2 1 1.5
1.5 1
2 15 2 -2
2 2 0
-4 2
-3 25 2 3
3 2 10
10 1
-1
6 1 1
1 4 5
5 5
5 16 4 –2
-2 4 0
-4 -3
-1 26 1 –1
1 1 0
-4 -2
3
7 2 3
3 5 4
4 1
0 17 -1 1
-1 -1 0
2 0
0 27 7 -4
-4 7 -6
-6 -1
-1
8 5 -5
5 5 0
10 5
5 18 1 2
2 1 3
3 2
0 28 1 -3
-3 1 -1
-1 1
1
9 0 0.5
0.5 3 -3.5
-3.5 4
-6 19 1 –1
1 1 0
4 0
0 29 1 3
3 1 -4
-4 -3
0
10 2 -2
2 2 0
4 2
3 20 6 2
2 6 -8
-8 3
-2 30 8 –3
-3 8 -5
-5 1
0
Задача 2 по теме “Решение систем линейных алгебраических уравнений”.
Решить систему линейных уравнений x=b методами : a) Гаусса с выбором главного элемента; b) простых итераций; с) Зейделя.
Итерационными методами решение задачи найти с точностью .
УКАЗАНИЕ. Для выполнения достаточного условия сходимости воспользоваться перестановкой строк в исходной системе уравнений.
№
№
1 3 12 -1 0
-5 2 0 32
2 0 16 -3
12 3 0 0 18
-15
0
21 16 4 2 32 0
2 30 0 -4
36 0 4 -5
0 0 11 40 -19
39
40
31
2 4 20 1 0
16 2 0 -2
-4 0 4 32
2 0 10 0 24
-13
0
7 17 4 -5 40 0
10 -4 0 50
32 0 4 -4
0 32 0 -9 19
0
34
-49
3 2 16 -3 0
-8 5 0 40
25 0 -2 3
0 -3 20 0 9
98
5
-7 18 9 40 2 0
12 -4 0 96
-4 0 64 8
36 0 0 9 81
119
-15
7
4 5 -2 32 0
4 25 0 -3
20 0 2 -7
0 0 -9 40 27
34
-28
5 19 7 -5 64 0
9 50 0 -4
0 9 -7 80
40 11 0 0 18
0
128
-19
5 -7 2 40 0
9 -5 0 50
25 0 4 -1
0 32 0 9 21
-14
13
21 20 11 64 -2 0
50 3 0 -12
0 13 -9 100
17 0 80 0 -34
0
131
85
6 8 40 -3 0
-7 5 0 50
8 0 64 -11
32 0 0 5 28
0
18
12 21 15 80 -4 0
64 7 0 -5
0 11 -8 128
0 37 100 0 93
131
-34
125
7 -9 4 64 0
10 50 0 -4
0 -14 7 80
40 9 0 0 24
-5
14
29 22 17 100 -9 0
80 -7 0 -5
0 21 128 -4
0 0 19 256 0
-79
139
-54
8 -8 64 5 0
50 -13 0 2
0 17 -9 100
-11 0 80 0 37
38
0
115 23 4 -1 20 0
18 3 0 -2
0 10 1 -1
0 4 0 20 38
-14
15
29
9 -13 80 2 0
64 9 0 -5
0 12 -9 128
0 27 100 0 64
29
0
231 24 3 20 -2 0
5 -4 0 20
0 5 32 -3
12 0 0 3 41
-19
34
29
10 -13 100 9 0
80 10 0 -5
0 -14 128 7
0 0 31 256 -128
34
95
-69 25 4 25 -1 0
6 5 0 40
25 0 3 4
0 -5 30 0 17
0
-34
9
11 1 -2 16 0
10 -1 0 1
0 12 1 -1
0 2 0 16 31
0
-28
29 26 9 -2 36 0
4 25 0 -3
40 0 5 -4
0 0 11 40 19
-18
44
21
12 2 20 -3 0
4 -2 0 24
0 2 16 -1
12 0 0 3 39
0
-25
18 27 9 -2 40 0
11 -3 0 50
30 0 -4 5
0 32 0 8 78
-114
-21
40
13 2 16 -1 0
3 -8 0 60
4 0 24 -3
12 3 0 0 32
-64
0
45 28 2 40 5 0
4 -9 0 72
4 0 64 8
36 0 0 9 42
88
119
54
14 5 -2 40 0
4 32 0 -6
7 0 3 32
20 0 4 0 39
0
21
-19 29 8 -3 64 0
-7 50 0 5
0 12 -9 80
40 9 0 0 131
-84
52
78
15 5 30 -3 0
-8 5 0 40
24 0 3 -4
0 7 25 0 17
31
39
8 30 7 64 -2 0
50 5 0 -8
0 18 5 112
15 0 80 0 111
98
219
-31
Задачи по теме “Приближение функции по методу интерполяции”
Задача 1. Для функции , заданной таблицей своих значений, построить интерполяционные многочлены в форме Лагранжа и Ньютона. Используя их, вычислить приближенное значение функции в точке .
Таблица к задаче 1
№ Таблица № Таблица
1 x -2 -1 0 1 -1.25 16 x -3 -2 -1 0 -2.25
y 4 1 -2 -3 y -2 -3 -1 0
2 x -1 0 1 2 -0.25 17 x -2 -1 0 1 -1.25
y 1 -2 -3 -1 y -3 -1 0 7
3 x 0 1 2 3 0.75 18 x -1 0 1 2 -0.25
y -2 -3 -1 0 y -1 0 7 4
4 x 1 2 3 4 1.75 19 x 0 1 2 3 0.75
y -3 -1- 0 7 y 0 7 4 1
5 x 2 3 4 5 2.75 20 x -4 -3 -2 -1 -3.25
y -1 0 7 4 y -3 -1 0 7
6 x 3 4 5 6 3.75 21 x -5 -4 -3 -2 -4.25
y 0 7 4 1 y 4 1 -2 -3
7 x 1 2 3 4 1.75 22 x 4 5 6 7 4.75
y 4 1 -2 -3 y 1 -2 -3 -1
8 x -4 -3 -2 -1 -3.25 23 x 5 6 7 8 5.75
y 1 -2 -3 -1 y -2 -3 -1 0
9 x 3 4 5 6 3.75 24 x 6 7 8 9 6.75
y -2 -3 -1 0 y -3 -1 0 7
10 x 4 5 6 7 4.75 25 x -3 -2 -1 0 -2.25
y -3 -1 0 7 y -1 0 7 4
11 x 5 6 7 8 5.75 26 x -2 -1 0 1 -1.25
y -1 0 7 4 y 0 7 4 1
12 x 6 7 8 9 6.75 27 x 0 1 2 3 0.75
y 0 7 4 1 y 0 1 2 3
13 x -5 -4 -3 -2 -4.25 28 x 1 2 3 4 1.75
y -2 -3 -1 0 y 1 -2 -3 -1
14 x 3 4 5 6 3.75 29 x 4 5 6 7 4.75
y 4 1 -2 -3 y -1 0 7 4
15 x 2 3 4 5 2.75 30 x 5 6 7 8 5.75
y 1 -2 -3 -1 y 0 7 4 1
Задача 2. Для функции , заданной таблицей своих значений, найти ее приближенное значение в точке , используя интерполяционные многочлены в форме Ньютона 1-ой и 2-ой степеней. Оценить погрешность приближения по формуле остаточного члена.
Таблица к задаче 2
№
Таблица значений
1
2
3
0.53
0.67
0.84 x 0.5 0.6 0.7
y 0.461281 0.535153 0.600685
x 0.8 0.9
y 0.657670 0.706241
4
5
6
0.57
0.62
0.78 x 0.5 0.6 0.7
y 0.548987 0.680492 0.833304
x 0.8
y 1.009122
7
8
9
0.47
0.69
0.72 x 0.4 0.5 0.6
y 0.362528 0.436468 0.502979
x 0.7 0.8
y 0.562204 0.614452
10
11
12
0.53
0.78
0.92 x 0.5 0.6 0.7
y 0.579250 0.729755 0.898808
x 0.8 0.9 1.0
y 1.090475 1.309671 1.562402
13
14
15
0.64
0.73
0.89 x 0.6 0.7 0.8
y 0.496883 0.592270 0.683378
x 0.9
y 0.767847
16
17
18
0.43
0.52
0.77 x 0.4 0.5 0.6
y 0.021294 0.041480 0.071336
x 0.7 0.8
y 0.112387 0.165737
19
20
21
0.64
0.73
0.89 x 0.6 0.7 0.8
y 0.599500 0.698531 0.796265
x 0.9
y 0.891509
22
23
24 2.58
2.78
2.93 x 2.5 2.6 2.7
y 1.749416 1.836064 1.926688
x 2.8 2.9 3.0
y 2.020652 2.117259 2.215765
25
26
27 2.53
2.77
2.96 x 2.5 2.6 2.7
y 3.835176 3.950609 4.060970
x 2.8 2.9 3.0
y 4.167403 4.270920 4.372438
28
29
30
0.68
0.92
1.36 x 0.6 0.8 1.0
y 0.301770 0.457854 0.628915
x 1.2 1.4
y 0.811346 1.002592
Задачи по теме “Приближение функции по методу
наименьших квадратов”
Задача 3. Функция задана таблицей своих значений:
-2 -1 0 1 2
Применяя метод наименьших квадратов, приблизить функцию многочленами 1-ой и 2-ой степеней. Для каждого приближения определить величину среднеквадратичной погрешности. Построить точечный график функции и графики многочленов.
Таблица к задаче 3
№ №
1 3.1 1.7 0.9 0.7 1.05 16 5.2 2.4 1.2 0.8 1.5
2 -0.4 0.2 1.0 1.2 0.9 17 4.8 2.6 1.8 1.3 1.0
3 6.4 3.3 1.4 1.3 2.5 18 1.4 3.2 2.8 1.6 0.2
4 7.5 4.5 3.0 1.8 2.5 19 -1.2 0.8 2.8 2.9 0.7
5 5.7 2.9 1.2 0.8 1.8 20 -2.0 0.6 2.2 2.5 0.9
6 -1.3 1.2 2.8 3.0 2.5 21 -0.7 1.6 2.5 1.2 -1.8
7 -0.8 -1.6 -1.3 0.4 3.2 22 1.8 2.5 1.6 0.3 21.5
8 0.8 1.6 1.2 -0.4 -5.7 23 2.6 0.4 -1.2 -1.6 -1.0
9 0.9 0.6 1.2 1.6 3.1 24 -2.4 0.2 1.4 2.2 1.8
10 0.9 1.4 1.1 0.4 -1.2 25 -0.6 1.6 -1.3 -0.5 1.5
11 -4.8 0 3.2 4.0 2.8 26 0.0 -1.4 -1.6 -0.5 1.2
12 11.0 6.5 3.2 1.8 3.5 27 3.2 2.8 2.2 0.6 -1.5
13 1.3 0.7 0.9 1.5 3.5 28 2.4 1.0 0.05 -0.17 0.4
14 0.8 1.1 1.6 2.9 4.5 29 1.8 0.92 0.25 0.12 0.0
15 2.8 1.4 2.1 3.6 4.8 30 1.6 0.88 0.35 0.28 0.2
Задача 1 по теме “Численное вычисление интегралов”.
Вычислить интеграл , используя квадратурные формулы:
а) центральных прямоугольников с шагом ; дать априорную оценку погрешности;
б) трапеций с шагами и ; оценить погрешность результата по формуле Рунге и уточнить результат по Рунге;
в) Симпсона с шагом .
Промежуточные результаты вычислять с шестью значащими цифрами. Аргументы тригонометрических функций вычислять в радианах.
№
№
№
1
11
21
2
12
22
3
13
23
4
14
24
5
15
25
6
16
26
7
17
27
8
18
28
9
19
29
10 20
30
Задачи по теме “Численное решение задачи Коши”
Задача 1. Численно решить задачу Коши для обыкновенного дифферен-циального уравнения 1-го порядка
на отрезке с шагом а) методом Эйлера; б) методом Рунге-Кутты 2-го порядка с оценкой погрешности по правилу Рунге.
Найти точное решение задачи. Построить на одном чертеже графики точного и приближенных решений.
Таблица к задаче1
№ f(t,y) t0 T y0 № f(t,y) t0 T y0
1
1 2 0 16
1 2 1
2 +1
0 17 1 2 3
3 0 1 0 18
1 2 1
4 +1
0.5 19
1 2 1
5 -1 0 1.5 20
1 2
6 0 1 1 21
1 2 1
7 +1
1 22
0 1 3
8 +1 23 0 1 1
9
1 2 1 24 0 1 1
10 0 1 25 0 1 0.5
11 2 3 4 26
0 1 3
12 1 2 27
0 1 -0.5
13 1 2 1 28
1 2 1
Окончание таблицы к задаче 1
14 1 2 4 29 0 1 0
15
1 2 -
30 0 1 -1
Задачи по теме “Численное решение краевой задачи”
Задача 1. Методом конечных разностей найти решение краевой задачи
с шагами , и оценить погрешность по правилу Рунге. Построить графики полученных приближенных решений.
Таблица к задаче 1
№
1 0.6 2.6 15cos(x) 0 1 0 -2
2 0.7 4
0 1 0 4
3 0.4 5
1 2 0 -4
4 1 7
1 2 3 0
5 0.8 4 0 1 8 4
6 0.6 12
2 3 2 6
7 0.3 0.6x 8sin(x) 1 3 2 2
8 0.3x 5
1 2 0 -2
9 6
0 1 7 2
10 0.2 3x
1 2 1 6
11 5x 10 0 1 -2 2
12 1.2
0 1 -3 2
13 0.8 8cos(x)
1 2 0 5
14 0.4 6
0 1 1 2
15 0.7 3
3 4 3 0
16 1.4 2.4 -14cos(x) 1 2 0 2
17 1.4 7
2 3 1 1
18 0.6 3
0 1 3 0
19 sin(x) 6 -5 1.5 3 -3 1
20 x+3 5 1 2 2 3
21 0.2x 5
0 1 0 0
22 0.2
-1 1 1 2
23 0.4 4cos(2x)
1 2 0 5
24 0.6
0 1 2 3
25 0.2x 1.8 2sin(x-4) 1 3 1 1
26 0.5 5x 0 1.2 1 3
27 6 15-5x -1 1 6 2
Окончание таблицы к задаче 1
28 6 13 0 1 3 1
29 1.6 3.6cos(x-1) -10 1 2 0 8
30 0.3
1 2 1 1
|