|
Содержание работы или список заданий
|
Вариаиант 7. Задача 1.1.
В задаче рассматривается равновесие тела под действием произвольной плоской системы сил. При ее решении учесть, что натяжения обеих ветвей нити, если трением пренебрегают, будут одинаковы. Уравнение моментов будет более простым, если брать моменты относительно точки, где пересекаются линии действия двух реакций связей. При вычислении момента силы часто удобно разложить ее на две составляющие и , для которых плечи легко определяются, и воспользоваться теоремой Вариньона, тогда .
Условие:
Жесткая рама (рис. 1.1 – схемы 1 – 10, табл. 1.1) закреплена в точке шарнирно, а в точке прикреплена или к невесомому стержню с шарнирами на концах, или к шарнирной опоре на катках.
В точке С к раме привязан трос, перекинутый через блок и несущий на конце груз весом . На раму действует пара сил с моментом и две силы, величины которых, направления и точки приложения указаны в таблице 1.1. (например, в условиях № 1 на раму действуют сила под углом к горизонтальной оси, приложенная в точке и сила под углом к горизонтальной оси, приложенная в точке ).
Определить реакции связей в точках , , вызываемые действующими нагрузками. При окончательных расчетах принять .
Задача 1.2.
Задача 1.2 на равновесие твердого тела (вала), находящегося под действием системы сил, произвольно расположенных в пространстве. Порядок решения этой задачи такой же, как и в предыдущих примерах, за исключением того, что для определения искомых величин надо составить шесть уравнений равновесия.
Если силы не образуют сходящуюся систему, а расположены как угодно в пространстве, то их можно привести к одному центру, с добавлением главного момента (согласно теореме Пуансо). При этом получим пространственную систему сходящихся сил и систему пар, расположенных в разных плоскостях.
Условия равновесия, заключаются в том, что главный вектор и главный момент относительно центра приведения равняется нулю, это и есть главная теорема статики.
Следует иметь в виду, что при нахождении проекции силы на ось часто бывает проще сначала найти ее проекцию на координатную плоскость, в которой расположена эта ось, а затем найденную проекцию спроецировать на данную ось. Точно также при определении момента силы относительно оси нередко бывает удобно разложить эту силу на взаимно перпендикулярные составляющие, одна из которых параллельна какой-нибудь координатной оси, затем применить теорему Вариньона.
Исходные данные для различных вариантов даны в табл. 1.2, а варианты схем приведены на рис. 1.3.
Условия:
1.2.1. На горизонтальный вал, который может вращаться в подшипниках А и В, насажены шкив 1 радиусом r1 = 12 см и шкив 2 радиусом r2 = 16 см. Ветви ремней каждого шкива параллельны между собой и образуют соответственно углы ?1 с горизонталью и ?2 с вертикалью. Пренебрегая весом шкива и вала, найти натяжение ведущей и ведомой ветви ремня, а также реакции подшипников при равновесии вала.
Примечание. Натяжение ведущей ветви ремня принять вдвое больше натяжения ведомой (T1 = 2t1; T2 = 2t2).
1.2.2. На горизонтальный вал насажены колесо 1 радиусом r1 = 20 см, колесо 2 радиусом r2 = 30 см и прикреплен перпендикулярно оси вала горизонтально рычаг СD длиной l = 20 см. К одному колесу приложена сила F, образующая с горизонталью угол ?1, а к другому – сила Т2, образующая с вертикалью угол ?2; к рычагу приложена вертикальная сила Р. Пренебрегая весом вала, колес и рычага, определить силу Р, при которой вал находится в равновесии, а также реакции подшипников А и В.
1.2.3. На горизонтальный вал насажено колесо радиусом r1 = 15 см и прикреплен перпендикулярно оси вала рычаг СD длиной l = 20 см, образующий с горизонтальной плоскостью угол ?2. Веревка, намотанная на колесо и натягиваемая грузом F, сходит с колеса по касательной, наклоненной под углом ?1 к горизонту. Пренебрегая весом вала, колеса и рычага и трением в блоке, определить вертикальную силу Р, при которой вал находится в равновесии, а также реакции подшипников А и В.
Задача 2.1
Задача 2.1 посвящена одному из простейших движений твердого тела – вращению твердого тела вокруг неподвижной оси. Исходные данные для различных вариантов приведены в табл. 2.1.
Таблица 2.1
Цифра шифра 1-я цифра шифра 2-я цифра шифра 3-я цифра шифра
t1, с t2, c t3, c h, см Номер условия ?=?(t), рад ?1, с-1 ?2, с-1 ?, с-2
1 0,5 3 1 10 1 t3+sin(?t) – – –
2 1,0 4 2 15 1 2t2–cos(?t) – – –
3 1,5 5 3 20 1 3t+sin2(?t/2) – – –
4 2,0 6 4 25 1 4t–cos2(?t/2) – – –
5 2,5 7 5 30 2 – 50 65 –
6 0,5 3 6 35 2 – 55 70 –
7 1,0 4 7 40 2 – 60 75 –
8 1,5 5 8 45 3 – 20 – 1,0
9 2,0 6 9 50 3 – 30 – 1,5
0 2,5 7 10 55 3 – 40 – 2,0
Условия:
1. По заданному уравнению вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси ?= ? (t) определить: 1) угловую скорость и угловое ускорение тела в момент времени t1; 2) скорость и ускорение точки тела, отстоящей на расстоянии h от оси в момент t2; 3) число оборотов N тела за время t3.
2. Диск, вращающийся равноускоренно вокруг неподвижной оси, в моменты времени t1 и t2 имеет угловые скорости ?1 и ?2 соответственно. Определить:
1) скорость и ускорение точки, отстоящей на расстоянии h от оси, в момент t2; 2) число оборотов N тела за время t3; 3) уравнение вращательного движения диска, если в начальный момент времени t0=0 начальный угол поворота ?0=0.
3. Тело, вращаясь равноускоренно с угловым ускорением ?, имеет в момент времени t1 угловую скорость ?1. Определить: 1) скорость и ускорение точки тела, отстоящей на расстоянии h от оси в момент t2; 2) число оборотов N тела за время t3; 3) уравнение вращательного движения тела, если в начальный момент времени t0=0 начальный угол поворота ?0=0.
Задача 2.2
Данная задача относится к сложному движению точки. Для определения абсолютной скорости точки необходимо найти ее относительную и переносную скорости и воспользоваться теоремой параллелограмма скоростей. Исходные данные представлены в табл. 2.2 и на рис. 2.3.
Условие:
Точка М движется по хорде диска (см. рис. 2.3, схемы 1, 3, 4), по диаметру (см. рис. 2.3, схемы 2, 5, 7, 8, 9) или ободу (см. рис. 2.3, схемы 6, 10) согласно закону s=АМ=?(t). Диск вращается вокруг неподвижной оси, проходящей через точку О1 и перпендикулярной плоскости диска (см. рис. 2.3, схемы 1, 2, 6, 7, 9), или вокруг оси О1О2, лежащей в плоскости диска (см. рис. 2.3, схемы 3, 4, 5, 8, 10), в направлении, указанном стрелкой, с постоянной угловой скоростью ?. Определить абсолютную скорость точки М в момент времени t1.
Задача 2.3
Задача 2.3 относится к плоскому движению твердого тела. Скорость ползуна для данного положения механизма можно вычислить с помощью как теоремы о проекциях скоростей двух точек тела, так и мгновенного центра скоростей шатуна. Для этого необходимо знать скорость какой-нибудь точки шатуна (например точки А) и направление скорости ползуна.
Ускорение ползуна в данный момент времени можно найти с помощью векторной формулы распределения ускорений точек плоской фигуры, спроектировав ее на два взаимно перпендикулярных направления. В качестве полюса удобно выбрать точку А. Исходные данные к задаче даны в табл. 2.4. и на рис.2.7.
Условие:
Кривошип ОА длиной R вращается вокруг неподвижной оси О с постоянной угловой скоростью ? и приводит в движение шатун АВ длиной L и ползун В. Для заданного положения механизма найти скорость и ускорение ползуна В.
Примечание. Если при заданных значениях углов окажется, что шатун АВ перпендикулярен направляющим ползуна (см. рис. 2.7, схемы 1, 6), то значение угла ? следует принять равным 15?.
Задача 3.1
Задание относится к прямой задаче динамики точки: по известным (заданным) силам и начальным условиям движения требуется определить движение точки, получив уравнения движения. Для этого следует изобразить движущееся тело (точку) в произвольный момент времени, показать все действующие на тело (заданные) силы, освободиться от связей, заменив их действие соответствую-щими реакциями. Затем составить дифференциальные уравнения движения (два при криволинейном и одно при прямолинейном движениях) и проинтегрировать их. Значения постоянных интегрирования определить из начальных условий. Исходные данные для различных вариантов даны в табл. 3.1., а схемы приведены на рис. 3.1.
Таблица 3.1
Цифра шифра 1-я цифра шифра 2-я цифра шифра 3-я цифра шифра
v0, м/с a, м b, м ?, град Силы, Н Номер условия Номер схемы (рис. 4.1) f
F P
1 21 4,5 1,0 30 2 30 3.1.1 1 –
2 22 5,0 1,5 45 4 35 3.1.1 2 –
3 23 5,5 2,0 60 6 40 3.1.1 3 –
4 24 6,0 2,5 30 8 45 3.1.1 4 –
5 25 6,5 3,0 45 10 50 3.1.2 5 –
6 26 7,0 3,5 60 12 55 3.1.2 6 –
7 27 7,5 4,0 30 14 60 3.1.3 7 0,10
8 28 8,0 4,5 45 16 65 3.1.3 8 0,12
9 29 8,5 5,0 60 18 70 3.1.4 9 0,14
0 30 9,0 5,5 30 20 75 3.1.4 10 0,16
Условия
1. Тяжелая материальная точка М брошена под углом ? к горизонту со скоростью v0. В начальный момент времени точка находилась в положении М0. Пренебрегая сопротивлением среды, определить уравнения движения точки в заданной системе координат (см. рис. 3.1, схемы 1 – 4).
2. Тело М весом Р брошено вертикально вверх (см. рис. 3.1, схема 5) или вниз (см. рис. 3.1, схема 6) со скоростью v0. При движении на тело действует сила ветра F. В начальный момент тело находилось в положении Мо. Определить уравнение движения, приняв его за материальную точку, в заданной системе координат (см. рис. 3.1, схемы 5, 6).
3. Груз весом Р движется прямолинейно по горизонтальной плоскости. На груз действует сила F, составляющая с горизонталью угол ?. Коэффициент трения скольжения груза о плоскость равен f. В начальный момент времени груз находился в положении Мо на расстоянии a от начала координат и имел скорость v0. Определить уравнение движения груза в заданной системе координат (см. рис. 3.1, схемы 7, 8).
4. Груз весом Р движется вверх (см. рис. 3.1, схема 9) или вниз (см. рис. 3.1, схема 10) по шероховатой наклонной плоскости. Коэффициент трения скольжения груза о плоскость равен f. В начальный момент груз находился в положении Мо на расстоянии a от начала координат и имел скорость v0. Определить уравнение движения груза в заданной системе координат (см. рис. 3.1, схемы 9, 10).
Примечание. Для схем 8 и 9 определить уравнение движения груза на первом этапе, когда движение происходит в направлении начальной скорости.
Задача 3.2
Данная задача на определение скорости материальной точки решается с применением теоремы об изменении количества движения.
Телу массой m сообщена начальная скорость v0, направленная вверх по наклонной плоскости, составляющей угол ? с горизонтом. На тело действует сила P, направленная в те же сторону (рис. 3.3).
Рис.3.3
Зная закон изменения силы Р=Р(t) и коэффициент трения скольжения f, определить скорость тела в момент времени t1 , t2 , t3 и проверить полученный результат для момента времени t1 с помощью дифференциального уравнения движения.
Необходимые для решения данные приведены в таблице 3.2
Таблица 3.2 .
Цифра шифра 1-я цифра шифра 2-я цифра шифра 3-я цифра шифра
m, кг v0 , м/с t1, с t2, с t3, с P0, Н P1, Н P2, Н P3, Н ?, град f
1 35 5,4 4 10 16 100 200 150 250 25 0,10
2 20 3,0 6 10 15 200 100 160 180 37 0,25
3 25 4,0 4 10 16 200 200 120 200 21 0,10
4 10 4,5 5 10 16 140 180 140 100 32 0,12
5 16 9,0 4 8 16 120 120 120 160 24 0,08
6 40 4,0 4 9 12 400 300 300 140 40 0,06
7 20 8,0 5 8 11 300 300 150 180 25 0,20
8 16 7,6 6 11 13 275 200 160 120 23 0,12
9 12 5,0 6 10 14 100 140 120 110 20 0,20
0 50 12,0 2 6 12 150 300 200 200 27 0,08
При построении графика изменения силы Р по заданным её значениям Р0, Р1, Р2, Р3 для момента времени t0, t1 , t2 , t3, считать зависимость Р=Р(t) между указанными моментами времени линейной. Значение силы Р, задаваемое по табл. 3.2 в виде дроби, указывает на то, что модуль силы в заданный момент времени претерпевает «скачок»: в числителе указан модуль силы в конце промежутка времени, а в знаменателе – в начале следующего промежутка времени.
Задача 3.3.
На звено 1 механизма, угловая скорость которого равна ?_10, с некоторого момента времени (t=0) начинает действовать пара сил с моментом M (движущий момент) или движущая сила Р.
Массы звеньев 1 и 2 механизма равны соответственно m1 и m2, а масса поднимаемого груза 3 – m3. Момент сил сопротивления вращения ведомого звена 2 равен МС. Радиусы больших и малых окружностей звеньев 1 и 2: R1, r1, R2, r2.
Схемы механизмов показаны на рис.3.5, а необходимые для реше¬ния данные приведены в табл.3.3.
Haйти: уравнение вращательного движения звена механизма, указанного в последней графе табл.3.3. Определить также натяжение нитки в заданный момент времени, а в вариантах, где имеется соприкасание звеньев 1 и 2, найти, кроме того, окружное усилие в точке их касания. Звенья 1 и 2, для которых радиусы инерции i_x1 и i_x2 в табл.3.3 не заданы, считать сплошными однородными дисками.
Задача 3.4.
Данная задача решается с применением теоремы об изменении кинетической энергии механической системы. Прежде всего, требуется определить систему, т.е. перечислить те тела, которые включены в состав системы. Затем нужно изобразить систему в произвольный момент времени, показать все силы (заданные и реакции связей), действующие на тела системы, определить скорости тел и перемещения точек приложения сил. После этого необходимо вычислить кинетическую энергию системы в начальном и конечном положениях, вычислить работу всех сил на заданных перемещениях и подставить полученные результаты в формулу, выражающую теорему об изменении кинетической энергии механической системы в конечной (интегральной) форме. Исходные данные приведены в табл. 3.4., а схемы- на рис. 3.8.
Условие
Однородный каток В весом Q и радиусом R соединен гибкой нерастяжимой и невесомой нитью с грузом А весом Р (см. рис. 3.8).
Таблица 3.4.
Цифра шифра 1-я цифра шифра 2-я цифра шифра 3-я цифра шифра
r, см S, м M, Н м Силы, кН Номер схемы (рис. 12.5) ?, град f
P Q F
1 12 2,1 120 1,1 3,1 8,1+0,5S 1 30 0,06
2 14 2,2 140 1,2 3,2 8,2+0,4S 2 45 0,07
3 16 2,3 160 1,3 3,3 8,3+0,3S 3 60 0,08
4 18 2,4 180 1,4 3,4 8,4+0,2S 4 30 0,09
5 20 2,5 200 1,5 3,5 8,5+0,1S 5 45 0,10
6 22 2,6 220 1,6 3,6 8,6+0,5S 6 60 0,06
7 24 2,7 240 1,7 3,7 8,7+0,4S 7 30 0,07
8 26 2,8 260 1,8 3,8 8,8+0,3S 8 45 0,08
9 28 2,9 280 1,9 3,9 8,9+0,2S 9 60 0,09
0 30 3,0 300 2,0 4,0 9,0+0,1S 10 30 0,10
|